Menge der Äquivalenzklassen

09.11.2008, 14:51

stadium

Menge der Äquivalenzklassen

Hallo zusammen,
bei der Relation aRb :<=> a-b ist durch n teilbar, mit a,b aus Z (ganze Zahlen) und n aus N (natürliche Zahlen) gibt es doch n Äquivalenzklassen. Sehe ich das so richtig?
Zum Beispiel enthält doch die Äquivalenzklasse [2], diejenigen Elemente, die sich durch 2 teilen lassen, und die Äquivalenzklasse [3] enthält doch diejenigen Elemente, die durch 3 teilbar sind.
Aber Äquivalenzklassen sind doch entweder gleich oder disjunkt. Hier aber sind sie nicht gleich, und auch nicht disjunkt.
Wo liegt hier mein Denkfehler?
Grüsse.

09.11.2008, 14:53

system-agent

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Der Denkfehler liegt darin, dass man zuerst ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ fixieren muss und erst danach diese ÄR einführt.
Dann ist $\begin{eqnarray*} [2] \end{eqnarray*}$ die Menge aller Elemente, die bei Division durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ genau den Rest 2 lassen.

09.11.2008, 14:56

Mazze

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Zitat:

Wo liegt hier mein Denkfehler?

Ich vermute stark das n beliebig aber fest ist. Ansonsten wäre die Relation nicht klar definiert.

zu spät smile

11.11.2008, 13:24

stadium

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@ system-agent,
woher soll man das wissen dass man n fixieren muss?
Nehmen wir mal an ich fixiere es, zb. n=1. Dann stehen alle Elemente aus Z in Relation zueinander, denn a-b ist durch 1 teilbar für alle a,b aus Z. Wo sind dann hier die Äquivalenzklassen?

Ok, wenn man n=2 fixiert, dann gibt es natürlich Elemente, bei denen bei der Subtraktion Reste enstehn. Aber bei n=1 eben nicht, ich versteh das nicht.

Und woran siehst Du eigentlich, dass es hier überhaupt um Reste geht?

@ Mazze,
wieso wäre die Relation dann nicht genau definiert?

11.11.2008, 16:24

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Zitat:

Original von stadium
Nehmen wir mal an ich fixiere es, zb. n=1. Dann stehen alle Elemente aus Z in Relation zueinander, denn a-b ist durch 1 teilbar für alle a,b aus Z. Wo sind dann hier die Äquivalenzklassen?

Du hast es doch selbst geschrieben:

Alle Elemente sind in derselben Äquivalenzklasse, es gibt also im Fall n=1 nur die eine
Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} [0]=\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Alles Ok, wo siehst du den Widerspruch?

11.11.2008, 19:46

system-agent

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Zitat:

Original von stadium
woher soll man das wissen dass man n fixieren muss?

Indem man genau liest smile

Es steht 100%ig dahinter, dass $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ fest sein soll, oder in der Vorlesung irgendwo.

Zitat:

Original von stadium
Und woran siehst Du eigentlich, dass es hier überhaupt um Reste geht?

Weil wenn $\begin{eqnarray*} a\sim b \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} n|(a-b) \end{eqnarray*}$ , dann gibt es also ein $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} nk=a-b \end{eqnarray*}$ , das heisst
$\begin{eqnarray*} a=nk+b \end{eqnarray*}$ und da sieht man, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ also genau dann zu $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ aequivalent ist, wenn es bei Division durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ genau Rest $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ lässt.
Womit auch deine Frage zur Anzahl ÄKlassen offensichtlich wird...

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