Bijektive Abbildung, Urbild, Umkehrfunktion

09.11.2008, 15:02

Chopin

Bijektive Abbildung, Urbild, Umkehrfunktion

Hallo,
ich bin neu hier und habe gleich mal eine Frage.

Und zwar habe ich eine Abbildung gegeben
f: ZxZ -->ZxZ, (x,y)-->(2x+3y, 3x+4y)

jetzt soll ich zeigen, dass das bijektiv ist und außerdem soll ich noch das Urbild berechnen von (0,1) und (1,0) und die Umkehrfuntkion bestimmen.

Jetzt meine Fragen...
Mit welchen Ansatz kann ich zeigen, dass das bijektiv ist?
Wie bestimme ich daraus die Umkehrfunktion? (dass da x und y steht verwirrt mich).
Aus der Schule war ich eher diese Form gewohnt z.B. y=x² (dann einfach x und y vertauschen und nach y wieder auflösen, aber wie das hier geht versteh ich nicht)

Ich gehe auch davon aus, dass ich das Urbild erst berechnen kann wenn ich die Umkehrfunktion habe oder?

Ich glaube es ist im Prinzip keine schwere Aufgabe, aber mir fehlen, denke ich so einige Grundzüge, wie man mit solchen Formulierungen überhaupt umzugehen hat.
Ich habe auch schon meine Mitschriften, Skripte und Bücher durchgeschaut, aber wie man genau damit umgeht habe ich nicht herausgefunden.

Lg Chopin

09.11.2008, 15:13

Mazze

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Zitat:

Mit welchen Ansatz kann ich zeigen, dass das bijektiv ist?

Du zeigst das die Funktion injektiv ist und surjektiv , denn salop gesprochen ist bijektiv = surjektiv + injektiv.

Injektiv : Nimm an das $\begin{eqnarray*} f(a,b) = f(c,d) \end{eqnarray*}$ und zeige das dann $\begin{eqnarray*} a = c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = d \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Surjektiv : Nimm $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ an und zeige dass es (c,d) gibt mit $\begin{eqnarray*} f(c,d) = (a,b) \end{eqnarray*}$ . Dieser Teil hilft Dir auch die Umkehrabbildung zu finden. Es ist oft möglich (c,d) direkt zu bestimmen.

Zitat:

Ich gehe auch davon aus, dass ich das Urbild erst berechnen kann wenn ich die Umkehrfunktion habe oder?

Nö, das Urbild von (5,7) ist zum Beispiel (1,1).

09.11.2008, 15:27

Chopin

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Zitat:

Original von Mazze

Zitat:

Mit welchen Ansatz kann ich zeigen, dass das bijektiv ist?

Du zeigst das die Funktion injektiv ist und surjektiv , denn salop gesprochen ist bijektiv = surjektiv + injektiv.

Injektiv : Nimm an das $\begin{eqnarray*} f(a,b) = f(c,d) \end{eqnarray*}$ und zeige das dann $\begin{eqnarray*} a = c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = d \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Surjektiv : Nimm $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ an und zeige dass es (c,d) gibt mit $\begin{eqnarray*} f(c,d) = (a,b) \end{eqnarray*}$ . Dieser Teil hilft Dir auch die Umkehrabbildung zu finden. Es ist oft möglich (c,d) direkt zu bestimmen.

Zitat:

Ich gehe auch davon aus, dass ich das Urbild erst berechnen kann wenn ich die Umkehrfunktion habe oder?

Nö, das Urbild von (5,7) ist zum Beispiel (1,1).

Danke für die schnelle Antwort!
Und wie tue ich das, dass das dann gilt?
Eine Funktion in dieser Form habe ich eben noch nie gesehen. Gehe ich überhaupt richtig davon aus, dass hier sozusagen eine Fläche auf eine Fläche (anstatt eine Gerade oder Kurve etc.) abgebildet wird?
Weil es ja 2 Anweisungen 2x+3y und 3x+4y sind

Lg Chopin

09.11.2008, 15:34

Mazze

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Zitat:

dass hier sozusagen eine Fläche auf eine Fläche (anstatt eine Gerade oder Kurve etc.) abgebildet wird?

Nein, hier wird ein Vektor

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

auf einen Vektor

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

abgebildet.

Zur Injektivität , wir haben also

$\begin{eqnarray*} f(a,b) = f(c,d) \end{eqnarray*}$

jetzt setzen wir die Funktionsdefinition von f ein, also ist

$\begin{eqnarray*} (2a + 3b,3a + 4b) = (2c + 3d, 3c + 4d) \end{eqnarray*}$

Du kannst es auch als Vektor schreiben :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2a + 3b\\ 3a + 4b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2c + 3d \\ 3c + 4d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun ja, jetzt spiel damit mal etwas rum Augenzwinkern

09.11.2008, 16:44

Chopin

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Danke für die Antwort.
Also etwas rumgespielt habe ich... zum Schluss steht bei mir
5(a-c)=7(b-d) und nach Vorraussetzung, dass a=c ist und b=d stimmt die Gleichung (also 0=0) und habe somit die Injektivität bewiesen?

(jetzt geh ich mal an die Surjektivität ran)

Gruß Chopin

09.11.2008, 16:56

Mazze

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Zitat:

5(a-c)=7(b-d) und nach Vorraussetzung, dass a=c ist und b=d stimmt die Gleichung (also 0=0) und habe somit die Injektivität bewiesen?

Nein, das ist falsch. a = c und b =d ist nicht die Voraussetzung. Du willst beweisen das aus $\begin{eqnarray*} f(a,b) = f(c,d) \end{eqnarray*}$ die Aussage $\begin{eqnarray*} a = c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = d \end{eqnarray*}$ folgt. Das heisst $\begin{eqnarray*} f(a,b) = f(c,d) \end{eqnarray*}$ ist deine Voraussetzung.

09.11.2008, 17:10

Chopin

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Also egal wie ich es umforme es kommt immer sowas wie
5a+7b=5c+7d heraus. Stimmt das wenigstens?
Wenn ja... wie soll ich von dieser einen Gleichung auf 2 Glecihungen a=c und b=d schließen.

Bei der Surjektivität häng ich übrigens auch.

(Entweder steh ich gerade aufm Schlauch oder ich bin einfach zu blöd dafür.)

Lg Chopin

09.11.2008, 17:12

Mazze

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Der Schritt $\begin{eqnarray*} 5(a - c) = 7(d - b) \end{eqnarray*}$ war doch ok. Bedenke jetzt das a,b,c,d ganze Zahlen sind und führe einen Beweis durch Widerspruch. Nimm also an, es gebe eine Lösung mit $\begin{eqnarray*} a \neq c \end{eqnarray*}$ , dann kannst Du zeigen das entweder d oder b nicht ganzzahlig sein können. Und dann hast Du Deinen Widerspruch.

09.11.2008, 17:21

Chopin

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indem ich einfach durch 5 dividiere und c addiere?
dann wäre ja 7/5 (b-d) kein Element aus Z sondern aus Q was dann gegen die Vorraussetzung spricht!?

Lg

09.11.2008, 17:42

Mazze

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Zitat:

dann wäre ja 7/5 (b-d) kein Element aus Z sondern aus Q was dann gegen die Vorraussetzung spricht!?

Das stimmt nicht, setze b = 10 und d = 5 dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{7}{5}(b -d) = 7 \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Allerdings habe auch ich einen Fehler gemacht, die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 5(a - c) = 7(d - b) \end{eqnarray*}$

hat zum Beispiel auch die Lösung a = 10, c = 3, d = 10, b = 5. Daher ist diese Gleichung nicht hinreichend für die injektivität. Allerdings ist

$\begin{eqnarray*} f(10,5) = (35,50) \neq (36,49) = f(3,10) \end{eqnarray*}$

Insofern sollte man eher wieder bei

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2a + 3b\\ 3a + 4b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2c + 3d \\ 3c + 4d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ansetzen. Diese kann man umschreiben in ein Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & -3 & -4 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das man in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ lösen muss. Und hiermit kommt man zum Ziel. Ich denke lineare Gleichungssysteme kannst Du lösen?

12.11.2008, 10:42

Chopin

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Danke für die Antwort,
ich denke jetzt müsste ich alles richtig haben.

Lg Chopin

12.11.2008, 17:35

Mazze

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Falls Du noch Zeit dafür findest, kannst Du gerne die Lösung präsentieren Augenzwinkern

12.11.2008, 19:25

Chopin

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Habe das Blatt schon abgegeben, demnach bin ich mir bei der Lösung nicht so ganz sicher ob ich das noch genau weiß,
aber ich mein es kam als Umkehrfunktion sowas wie (4x-3y) , (3x-2y) raus.

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