Unendliche Reihe: Konvergenz überprüfen

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eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
Unendliche Reihe: Konvergenz überprüfen
Hallo!

Habe folgendes Beispiel:
"Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten folgender Reihen:
a)



Wenn ich ein paar Paritalsummen ausrechne, dann sehe ich, dass die divergent ist.

Mit welchem Kriterium zeige ich das jetzt am einfachsten/besten?

mfg
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Sowas lässt sich immer nach unten gegen (ein konstantes Vielfaches von ihr) die harmonische Reihe abschätzen. Sprich Minorantenkriterium.
 
 
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!

Irgendwie komme ich aber beim Abschätzen nicht weiter:



Reicht es, wenn ich so abschätze?

mfg
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, denn konvergiert.

Es ist

Nun kürze mal durch k und schätze dann den Zähler ab.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »





Und die harmonische Reihe ist meine Minorante und die ist divergent.

Sollte so stimmen, oder?

mfg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendliche Reihe: Konvergenz überprüfen
Wenn du mit erweiterst, rechnet sich das etwas leichter. smile
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendliche Reihe: Konvergenz überprüfen
Danke für den Tipp:

So sollte es stimmen:



Und das ist meine Minorante.

Damit ist die Reihe divergent.

mfg
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendliche Reihe: Konvergenz überprüfen
Beim Beispiel b) komme ich auch nicht weiter:



Ich habs mit dem Quotientenkriterium versucht:


Dann kürtzt sich da viel weg und es bleibt:


Wie gehts jetzt weiter?

mfg
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp!

Habs jetzt so abgeschätzt und dann das Quotientenkriterium angewandt:



Dann kürzt sich viel raus und es bleibt stehen.

Und jetzt das Quotientenkriterium:


Da kürzt sich jetzt viel raus:


Und wir sehen, dass der Limes superior der Minorante größer 1 ist und somit divergent und dann muss auch die Reihe divergent sein. Richtig?


Eine andere Frage: Wann nehm ich beim Quotientenkriterium den Limes superior und wann nehm ich denn Limes inferior? Wenn die Folge monoton steigt den superior und wenn sie fällt den inferior?

mfg

PS: Stimmt das Beispiel a)?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eierkopf1
Habs jetzt so abgeschätzt und dann das Quotientenkriterium angewandt:



Die Abschätzung ist zwar nett, aber eigentlich nicht erforderlich. Man kann das Quotientenkriterium auch ohne weiteres auf den ursprünglichen Reihenterm anwenden.

Zitat:
Original von eierkopf1
Dann kürtzt sich da viel weg und es bleibt:


Wie gehts jetzt weiter?

Kürze den Bruch durch n^n.

Zitat:
Original von eierkopf1
Eine andere Frage: Wann nehm ich beim Quotientenkriterium den Limes superior und wann nehm ich denn Limes inferior? Wenn die Folge monoton steigt den superior und wenn sie fällt den inferior?

Meines Wissens nimmt man beim Quotientenkriterium immer den Limes superior.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eierkopf1
Habs jetzt so abgeschätzt und dann das Quotientenkriterium angewandt:

Das ergibt keinen Sinn: Wenn du





abschätzt, was sagt dann über aus? Nichts - nicht mal als Abschätzung nach oben oder unten zu gebrauchen. unglücklich
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eierkopf1


Dann kürzt sich viel raus und es bleibt stehen.


Und da divergiert (An die geometrische Reihe denken!), ist eine divergente Minorante gefunden.

Nichts mit Quotientenkriterium. Das Quotientenkriterium auf eine geometrische Reihe anzuwenden ist meiner Meinung nach eigentlich sowieso ein Zirkelschluss.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke an alle für die Antworten!

@klarsoweit:

Wie soll ich diesen Bruch durch n^n kürzen? Dann steht es doch im Nenner, oder sehe ich hier irgendetwas nicht verwirrt

@Arthur Dent

Du meinst, dass zuerst Abschätzen (Minorante bzw Majorante finden) und dann Quotientenkriterium (hier?) nicht möglich sind. Warum?
Wenn ich beweise, dass meine Abschätzung divergent ist und es sich um eine Minorante handelt, dann muss doch auch meine Ausgangsreihe divergent sein, oder?


@tmo
Siehe "@ Arthur Dent". Warum kann ich das nicht machen? (Auch wenn es offentsichtlich ist?)

mfg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendliche Reihe: Konvergenz überprüfen


Und jetzt überlege mal, wohin der Nenner konvergiert.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir mal den Beweis des Quotientenkriterium an. Dabei wird benutzt, dass die geometrische Reihe für konvergiert und für divergiert. Wenn man nun mit dem Quotientenkriterium beweist, dass eine geometrische Reihe konvergiert/divergiert, ist das ein Zirkelschluss:

.

Sprich du beweist etwas, aber benutzt dabei eigentlich das zu Beweisende. Das geht natürlich nicht.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Habs jetzt verstanden Freude

mfg
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei 1e) komme ich auch nicht weiter:



Ich weiß, dass sie konvergent ist (Habs mal so ins Mathematica getippt). Aber mit welchem Kriterium gehe ich hier am besten vor?

mfg
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eierkopf1
Ich weiß, dass sie konvergent ist (Habs mal so ins Mathematica getippt).


Das bringt nie viel. Du musst eine Ahnung davon haben, warum die Reihe konvergiert/divergiert. Wenn n ganz groß ist, was haben die Zahlen 4, 200 und 1 dann für eine Bedeutung?
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei den Summen finde ich das ganz praktisch, da ich mir so leicht Glieder mit großem Index berechnen kann.

Wenn n ganz groß ist, dann wird der Nenner größer sein als der Zähler. Dh, bei großgenugem n wird (n/200 +1) keine Rolle mehr spielen. Meinst du das?

mfg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Wenn man nun mit dem Quotientenkriterium beweist, dass eine geometrische Reihe konvergiert/divergiert, ist das ein Zirkelschluss:

.

Sprich du beweist etwas, aber benutzt dabei eigentlich das zu Beweisende. Das geht natürlich nicht.

Also ich sehe das anders. Du sagst richtig, daß man beim Beweis des Quotientenkriteriums auf die Frage stößt, ob bzw. wann eine geometrische Reihe konvergiert. Wenn man das bislang nicht bewiesen hatte, dann beweist man das eben gerade, natürlich ohne die Verwendung des Quotientenkriteriums, denn das will man ja gerade beweisen. Nachdem der Beweis des Quotientenkriteriums abgeschlossen ist, gilt es für alle beliebigen Reihen, also auch für geometrische Reihen.

Zitat:
Original von eierkopf1
Ich weiß, dass sie konvergent ist (Habs mal so ins Mathematica getippt). Aber mit welchem Kriterium gehe ich hier am besten vor?

Du kannst leicht eine konvergente Majorante finden.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

@Majorante finden

Ich finde das nicht so leicht unglücklich

So weit bin ich:



Das habe ich umgeformt bis:


Wie gehts jetzt weiter?

mfg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mal n+100 großzügig nach oben mit 101n abschätzen. smile
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das Abschätzen des Zählers war mein Problem. Aber mit deiner Abschätzung ist es dann wirklich ganz einfach. Freude

Danke sehr.


Eine andere Frage: Generell solche Abschätzungen müsste man doch auch zeigen (zB mittels vollständiger Induktion), dass sie gültig sind, oder?

mfg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich muß man zeigen, daß solche Abschätzungen gültig sind. Ob man das mittels vollständiger Induktion oder anders macht, ist eigentlich wurscht.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie außer mit vollstädiger Induktion kann man das beweisen?

Wie beweis ich das mittels vollständiger Induktion?


Zu zeigen ist ja:


Jetzt sollte ich wahrscheinlich die linke Seite umformen, bis ich die Induktionsannahme einsetzen kann. Nur wie fange ich da am besten an?

mfg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach direkt:

Es gilt:

Wegen der Monotonie der Potenzfunktionen folgt

Das andere geht ähnlich. Die vollständige Induktion ist eben nicht für alles gut. smile

EDIT: kleinen Fehler (vergessene 7er-Potenz) korrigiert.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

OK.

Du hast hoch 7 bei der letzten Zeile vergessen. Augenzwinkern

Dh, mittels vollständiger Induktion wäre das schwer beweisbar bzw. müsste ich Abschätzungen durchführen (und diese dann ebenfalls beweisen), oder?

mfg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eierkopf1
Du hast hoch 7 bei der letzten Zeile vergessen. Augenzwinkern

Danke für den Hinweis, hab's korrigiert. Freude

Zitat:
Original von eierkopf1
Dh, mittels vollständiger Induktion wäre das schwer beweisbar bzw. müsste ich Abschätzungen durchführen (und diese dann ebenfalls beweisen), oder?

Genau. Letztlich würde man ähnlich gelagerte Abschätzungen wie im direkten Beweis verwenden.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn man die wesentlichen Zwischenschritte der Abschätzung hinschreibt, sieht man doch, dass es gelten muss. Ist dann ein extra Beweis noch notwendig?

mfg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, das ist ein prinzipielles Problem in der Mathematik. "Kleinere" Abschätzungen kann jeder nachvollziehen. Die Verwendung meinetwegen einer Bernoullischen Ungleichung sollte dann vielleicht doch erwähnt werden. Ich habe schon zuviele mathematische Texte gelesen, wo da stand "wie man leicht sieht" oder "der Beweis wird dem Leser als Übungsbeispiel überlassen", und wenn man sich an den Beweis macht, merkt man "ohha, da steckt aber noch einiges hinter". Da verpasse ich so manchem Autor geistig einen Tritt in den Allerwertesten.
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