Unendliche Reihe: Konvergenz überprüfen

09.11.2008, 16:25

eierkopf1

Unendliche Reihe: Konvergenz überprüfen

Hallo!

Habe folgendes Beispiel:
"Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten folgender Reihen:
a)
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty}~\frac{k-\sqrt{k}}{k^2 - k} \end{eqnarray*}$

Wenn ich ein paar Paritalsummen ausrechne, dann sehe ich, dass die divergent ist.

Mit welchem Kriterium zeige ich das jetzt am einfachsten/besten?

mfg

09.11.2008, 16:33

tmo

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Sowas lässt sich immer nach unten gegen (ein konstantes Vielfaches von ihr) die harmonische Reihe abschätzen. Sprich Minorantenkriterium.

09.11.2008, 18:00

eierkopf1

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Danke für die Antwort!

Irgendwie komme ich aber beim Abschätzen nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac{k-\sqrt{k}}{k^2-k} > \frac{1}{k^2-k} \end{eqnarray*}$

Reicht es, wenn ich so abschätze?

mfg

09.11.2008, 18:08

tmo

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Nein, denn $\begin{eqnarray*} \sum_{k \geq 2}\frac{1}{k^2-k} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{k-\sqrt{k}}{k^2-k} \geq \frac{k-\sqrt{k}}{k^2} \end{eqnarray*}$

Nun kürze mal durch k und schätze dann den Zähler ab.

09.11.2008, 19:52

eierkopf1

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$\begin{eqnarray*} \frac{k-\sqrt{k}}{k^2-k} \geq \frac{k-\sqrt{k}}{k^2}=\frac{1-k^{-0.5}}{k}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{k}}}{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{k} - \frac{1}{k^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

Und die harmonische Reihe ist meine Minorante und die ist divergent.

Sollte so stimmen, oder?

mfg

09.11.2008, 20:07

klarsoweit

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RE: Unendliche Reihe: Konvergenz überprüfen
Wenn du $\begin{eqnarray*} \frac{k-\sqrt{k}}{k^2 - k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k+\sqrt{k} \end{eqnarray*}$ erweiterst, rechnet sich das etwas leichter. smile

10.11.2008, 21:36

eierkopf1

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RE: Unendliche Reihe: Konvergenz überprüfen
Danke für den Tipp:

So sollte es stimmen:

$\begin{eqnarray*} \frac{k-\sqrt{k}}{k^2-k}=\frac{(k-\sqrt{k})(k+\sqrt{k})}{(k^2-k)(k+\sqrt{k})}= \frac{1}{(k+\sqrt{k})}\geq \frac{1}{k+k} =\frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$

Und das ist meine Minorante.

Damit ist die Reihe divergent.

mfg

11.11.2008, 00:03

eierkopf1

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RE: Unendliche Reihe: Konvergenz überprüfen
Beim Beispiel b) komme ich auch nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~ \frac{5^n n!}{n^n} \end{eqnarray*}$

Ich habs mit dem Quotientenkriterium versucht:
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} \mid \frac{5^{n+1} (n+1)! \cdot n^n}{(n+1)^{n+1} 5^n \cdot n!} \mid \end{eqnarray*}$

Dann kürtzt sich da viel weg und es bleibt:
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} \mid \frac{5 n^n}{(n+1)^{n}} \mid \end{eqnarray*}$

Wie gehts jetzt weiter?

mfg

11.11.2008, 07:07

tmo

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Es ist $\begin{eqnarray*} n! > \left( \frac{n}{e} \right)^n \end{eqnarray*}$

11.11.2008, 08:04

eierkopf1

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Danke für den Tipp!

Habs jetzt so abgeschätzt und dann das Quotientenkriterium angewandt:

$\begin{eqnarray*} \frac{5^n \cdot n!}{n^n} \geq \frac{5^n \cdot (\frac{n}{e})^n}{n^n} \end{eqnarray*}$

Dann kürzt sich viel raus und es bleibt $\begin{eqnarray*} \frac{5^n}{e^n} \end{eqnarray*}$ stehen.

Und jetzt das Quotientenkriterium:
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} \mid \frac{ \frac{5^{n+1}}{e^{n+1}} } { \frac{5^n}{e^n} } \mid \end{eqnarray*}$

Da kürzt sich jetzt viel raus:
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} \mid \frac{ 5 } { e } \mid \end{eqnarray*}$

Und wir sehen, dass der Limes superior der Minorante größer 1 ist und somit divergent und dann muss auch die Reihe divergent sein. Richtig?

Eine andere Frage: Wann nehm ich beim Quotientenkriterium den Limes superior und wann nehm ich denn Limes inferior? Wenn die Folge monoton steigt den superior und wenn sie fällt den inferior?

mfg

PS: Stimmt das Beispiel a)?

11.11.2008, 09:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von eierkopf1
Habs jetzt so abgeschätzt und dann das Quotientenkriterium angewandt:

$\begin{eqnarray*} \frac{5^n \cdot n!}{n^n} \geq \frac{5^n \cdot (\frac{n}{e})^n}{n^n} \end{eqnarray*}$

Die Abschätzung ist zwar nett, aber eigentlich nicht erforderlich. Man kann das Quotientenkriterium auch ohne weiteres auf den ursprünglichen Reihenterm anwenden.

Zitat:

Original von eierkopf1
Dann kürtzt sich da viel weg und es bleibt:
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} \mid \frac{5 n^n}{(n+1)^{n}} \mid \end{eqnarray*}$

Wie gehts jetzt weiter?

Kürze den Bruch durch n^n.

Zitat:

Original von eierkopf1
Eine andere Frage: Wann nehm ich beim Quotientenkriterium den Limes superior und wann nehm ich denn Limes inferior? Wenn die Folge monoton steigt den superior und wenn sie fällt den inferior?

Meines Wissens nimmt man beim Quotientenkriterium immer den Limes superior.

11.11.2008, 09:52

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Zitat:

Original von eierkopf1
Habs jetzt so abgeschätzt und dann das Quotientenkriterium angewandt:

Das ergibt keinen Sinn: Wenn du

$\begin{eqnarray*} a_n \geq b_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq b_{n+1} \end{eqnarray*}$

abschätzt, was sagt dann $\begin{eqnarray*} \frac{b_{n+1}}{b_n} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ aus? Nichts - nicht mal als Abschätzung nach oben oder unten zu gebrauchen. unglücklich

11.11.2008, 15:42

tmo

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Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} \frac{5^n \cdot n!}{n^n} \geq \frac{5^n \cdot (\frac{n}{e})^n}{n^n} \end{eqnarray*}$

Dann kürzt sich viel raus und es bleibt $\begin{eqnarray*} \frac{5^n}{e^n} \end{eqnarray*}$ stehen.

Und da $\begin{eqnarray*} \sum_{n \geq 0} \frac{5^n}{e^n} \end{eqnarray*}$ divergiert (An die geometrische Reihe denken!), ist eine divergente Minorante gefunden.

Nichts mit Quotientenkriterium. Das Quotientenkriterium auf eine geometrische Reihe anzuwenden ist meiner Meinung nach eigentlich sowieso ein Zirkelschluss.

11.11.2008, 21:35

eierkopf1

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Danke an alle für die Antworten!

@klarsoweit:

Wie soll ich diesen Bruch durch n^n kürzen? Dann steht es doch im Nenner, oder sehe ich hier irgendetwas nicht verwirrt

@Arthur Dent

Du meinst, dass zuerst Abschätzen (Minorante bzw Majorante finden) und dann Quotientenkriterium (hier?) nicht möglich sind. Warum?
Wenn ich beweise, dass meine Abschätzung divergent ist und es sich um eine Minorante handelt, dann muss doch auch meine Ausgangsreihe divergent sein, oder?

@tmo
Siehe "@ Arthur Dent". Warum kann ich das nicht machen? (Auch wenn es offentsichtlich ist?)

mfg

11.11.2008, 22:13

klarsoweit

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RE: Unendliche Reihe: Konvergenz überprüfen
$\begin{eqnarray*} \frac{5 n^n}{(n+1)^n} = \frac{5}{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n} \end{eqnarray*}$

Und jetzt überlege mal, wohin der Nenner konvergiert.

11.11.2008, 23:13

tmo

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Schau dir mal den Beweis des Quotientenkriterium an. Dabei wird benutzt, dass die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty q^k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ konvergiert und für $\begin{eqnarray*} |q|>1 \end{eqnarray*}$ divergiert. Wenn man nun mit dem Quotientenkriterium beweist, dass eine geometrische Reihe konvergiert/divergiert, ist das ein Zirkelschluss:

$\begin{eqnarray*} \text{geometrische ~ Reihe ~ konvergiert} \Longrightarrow \text{Quotientenkriterium} \Longrightarrow \text{geometrische ~ Reihe ~ konvergiert} \end{eqnarray*}$ .

Sprich du beweist etwas, aber benutzt dabei eigentlich das zu Beweisende. Das geht natürlich nicht.

11.11.2008, 23:31

eierkopf1

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Danke!

Habs jetzt verstanden Freude

mfg

12.11.2008, 00:17

eierkopf1

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Bei 1e) komme ich auch nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{ (n+4)^4}{ ( \frac{n}{200} +1)^7} \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass sie konvergent ist (Habs mal so ins Mathematica getippt). Aber mit welchem Kriterium gehe ich hier am besten vor?

mfg

12.11.2008, 06:48

WebFritzi

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Zitat:

Original von eierkopf1
Ich weiß, dass sie konvergent ist (Habs mal so ins Mathematica getippt).

Das bringt nie viel. Du musst eine Ahnung davon haben, warum die Reihe konvergiert/divergiert. Wenn n ganz groß ist, was haben die Zahlen 4, 200 und 1 dann für eine Bedeutung?

12.11.2008, 07:57

eierkopf1

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Bei den Summen finde ich das ganz praktisch, da ich mir so leicht Glieder mit großem Index berechnen kann.

Wenn n ganz groß ist, dann wird der Nenner größer sein als der Zähler. Dh, bei großgenugem n wird (n/200 +1) keine Rolle mehr spielen. Meinst du das?

mfg

12.11.2008, 09:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von tmo
Wenn man nun mit dem Quotientenkriterium beweist, dass eine geometrische Reihe konvergiert/divergiert, ist das ein Zirkelschluss:

$\begin{eqnarray*} \text{geometrische ~ Reihe ~ konvergiert} \Longrightarrow \text{Quotientenkriterium} \Longrightarrow \text{geometrische ~ Reihe ~ konvergiert} \end{eqnarray*}$ .

Sprich du beweist etwas, aber benutzt dabei eigentlich das zu Beweisende. Das geht natürlich nicht.

Also ich sehe das anders. Du sagst richtig, daß man beim Beweis des Quotientenkriteriums auf die Frage stößt, ob bzw. wann eine geometrische Reihe konvergiert. Wenn man das bislang nicht bewiesen hatte, dann beweist man das eben gerade, natürlich ohne die Verwendung des Quotientenkriteriums, denn das will man ja gerade beweisen. Nachdem der Beweis des Quotientenkriteriums abgeschlossen ist, gilt es für alle beliebigen Reihen, also auch für geometrische Reihen.

Zitat:

Original von eierkopf1
Ich weiß, dass sie konvergent ist (Habs mal so ins Mathematica getippt). Aber mit welchem Kriterium gehe ich hier am besten vor?

Du kannst leicht eine konvergente Majorante finden.

12.11.2008, 09:57

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

@Majorante finden

Ich finde das nicht so leicht unglücklich

So weit bin ich:

$\begin{eqnarray*} \leq \frac{(n+100)^4}{\frac{n^7}{200^7}} \end{eqnarray*}$

Das habe ich umgeformt bis:
$\begin{eqnarray*} =200^7 (\frac{n+100}{n})^4 \cdot \frac{1}{n^3} \end{eqnarray*}$

Wie gehts jetzt weiter?

mfg

12.11.2008, 09:59

klarsoweit

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Ich würde mal n+100 großzügig nach oben mit 101n abschätzen. smile

12.11.2008, 10:14

eierkopf1

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Genau das Abschätzen des Zählers war mein Problem. Aber mit deiner Abschätzung ist es dann wirklich ganz einfach. Freude

Danke sehr.

Eine andere Frage: Generell solche Abschätzungen müsste man doch auch zeigen (zB mittels vollständiger Induktion), dass sie gültig sind, oder?

mfg

12.11.2008, 10:16

klarsoweit

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Natürlich muß man zeigen, daß solche Abschätzungen gültig sind. Ob man das mittels vollständiger Induktion oder anders macht, ist eigentlich wurscht.

12.11.2008, 10:50

eierkopf1

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Wie außer mit vollstädiger Induktion kann man das beweisen?

Wie beweis ich das mittels vollständiger Induktion?
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+100)^4}{(\frac{n}{200}+1)^7} \leq \frac{101^4 \cdot 200^7}{n^2} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist ja:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+101)^4}{(\frac{n+1}{200}+1)^7} \leq \frac{101^4 \cdot 200^7}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte ich wahrscheinlich die linke Seite umformen, bis ich die Induktionsannahme einsetzen kann. Nur wie fange ich da am besten an?

mfg

12.11.2008, 10:57

klarsoweit

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Einfach direkt:

Es gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{n}{200}+1 \geq \frac{n}{200} \Leftrightarrow \frac{1}{\frac{n}{200}+1} \leq \frac{1}{\frac{n}{200}} = \frac{200}{n} \end{eqnarray*}$

Wegen der Monotonie der Potenzfunktionen folgt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(\frac{n}{200}+1)^7} \leq \frac{1}{(\frac{n}{200})^7} = \frac{200^7}{n^7} \end{eqnarray*}$

Das andere geht ähnlich. Die vollständige Induktion ist eben nicht für alles gut. smile

EDIT: kleinen Fehler (vergessene 7er-Potenz) korrigiert.

12.11.2008, 11:44

eierkopf1

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OK.

Du hast hoch 7 bei der letzten Zeile vergessen. Augenzwinkern

Dh, mittels vollständiger Induktion wäre das schwer beweisbar bzw. müsste ich Abschätzungen durchführen (und diese dann ebenfalls beweisen), oder?

mfg

12.11.2008, 11:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von eierkopf1
Du hast hoch 7 bei der letzten Zeile vergessen. Augenzwinkern

Danke für den Hinweis, hab's korrigiert. Freude

Zitat:

Original von eierkopf1
Dh, mittels vollständiger Induktion wäre das schwer beweisbar bzw. müsste ich Abschätzungen durchführen (und diese dann ebenfalls beweisen), oder?

Genau. Letztlich würde man ähnlich gelagerte Abschätzungen wie im direkten Beweis verwenden.

12.11.2008, 11:52

eierkopf1

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Aber wenn man die wesentlichen Zwischenschritte der Abschätzung hinschreibt, sieht man doch, dass es gelten muss. Ist dann ein extra Beweis noch notwendig?

mfg

12.11.2008, 12:03

klarsoweit

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Nun ja, das ist ein prinzipielles Problem in der Mathematik. "Kleinere" Abschätzungen kann jeder nachvollziehen. Die Verwendung meinetwegen einer Bernoullischen Ungleichung sollte dann vielleicht doch erwähnt werden. Ich habe schon zuviele mathematische Texte gelesen, wo da stand "wie man leicht sieht" oder "der Beweis wird dem Leser als Übungsbeispiel überlassen", und wenn man sich an den Beweis macht, merkt man "ohha, da steckt aber noch einiges hinter". Da verpasse ich so manchem Autor geistig einen Tritt in den Allerwertesten.

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