Komplexe Wechselstromrechnung

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09.11.2008, 16:53	frank1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Wechselstromrechnung Hallo Matheboard-User! Ich soll beweisen, dass: $\begin{eqnarray} U_1 + U_2 + U_3 = 0 \end{eqnarray}$ wobei: $\begin{eqnarray} U_1 = U_0 \cos(\omega t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_2 = U_0 \cos(\omega t + \frac{2 \pi }{3} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_3 = U_0 \cos(\omega t + \frac{4 \pi }{3} ) \end{eqnarray}$ Nun hätte ich gedacht, dass ließe sich irgendwie über den cosinus der Winkel beweisen (in der Hoffnung die cosinüsse würden irgendwann Null ergeben). Leider habe ich keine Ahnung, wie ich das $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ einbeziehen soll. Laut Skript ist $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ die Kreisfrequenz bzw. Winkelgeschwindigkeit. Bringt mich aber nicht wirklich weiter. Tips, Anregungen, etc. werden dankend angenommen, mfg, Frank
09.11.2008, 17:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis gestaltet sich mit Hilfe der Additionstheoreme (eines Additionstheoremes = Summensatz) recht einfach. Du musst nur durch Rechnung zeigen, dass $\begin{eqnarray} \cos a + \cos (a + 120°) + \cos(a + 240°) = 0 \end{eqnarray}$ ist. Praktisch heisst das, dass die Summe der Augenblickswerte des verketteten Dreiphasenstromes (Drehstromes) in jedem Zeitpunkt Null ist. mY+ Hinweis: Du kannst ja vorübergehend - zur Berechnung - einfach $\begin{eqnarray} \omega t = a \end{eqnarray}$ setzen. cosinus -> cosinus (-nüsse ist zwar lustig, aber falsch)
09.11.2008, 17:46	frank1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön für die rasche Antwort! Ich habe leider das Additionstheorem nicht in meiner Formelsammlung gefunden. Gibt es das direkt oder ist die aus anderen Theoremen abgeleitet? Wenn ja aus welchen?
09.11.2008, 18:47	frank1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, die Summensätze für den Cosinus helfen mir irgendwie nicht weiter. Selbst wenn ich $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ t durch a ersetze hab ich immernoch das Problem wie ich mit denen Rechnen soll. Das Theorem $\begin{eqnarray} \cos(x) + \cos(y) = 2 \cos(\frac{x+y}{2} )\cos(\frac{x-y}{2} ) \end{eqnarray}$ bringt mich irgendwie nicht weiter. Ich kann mir nicht vorstellen, dass ich damit zum Ergebnis komme. $\begin{eqnarray} \cos(a + 120°) \end{eqnarray}$ entspricht ja $\begin{eqnarray} \cos(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos(a + 240°) \end{eqnarray}$ entspricht ja $\begin{eqnarray} \cos(y) \end{eqnarray*}$ Irgendwie glaub ich, dass es die Ochsentour wäre, das ganze so zu versuchen. Oder irre ich mich da?
09.11.2008, 21:45	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Additionstheoreme lauten wie folgt: $\begin{eqnarray} \sin {(\alpha \pm \beta)} = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos {(\alpha \pm \beta)} = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \end{eqnarray}$
09.11.2008, 22:30	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber dein Ansatz war ebenso korrekt und du wärst auch auf das richtige Ergebnis gestoßen.
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09.11.2008, 22:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit die Qual ein Ende hat: $\begin{eqnarray} \cos a + \cos (a + 120°) + \cos(a + 240°) = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \cos a + \cos a \cos 120° - \sin a \sin 120° + \cos a \cos 240° - \sin a \sin 240°= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \cos a - \frac{1}{2} \cos a - \frac{\sqrt3}{2} \sin a - \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt3}{2} \sin a = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 0 \end{eqnarray}$ ==== mY+
09.11.2008, 23:25	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder der andere Ansatz: $\begin{eqnarray} \cos a + \cos (a+120°) + \cos (a + 240°) = \cos a + 2\cos\frac{2a+360°}{2} \cdot \cos\frac{120°}{2} = \cos a + \cos (a + 180°) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =2\cos\frac{2a+180°}{2} \cdot \cos\frac{180°}{2} = 2 \cos (a + 90°) \cdot \cos 90° \underline{= 0} \end{eqnarray}$
09.11.2008, 23:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Na wunderbar, jetzt kann er sich das sogar aussuchen, tolles Service hier! mY+
09.11.2008, 23:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder komplex (Titel des Strangs) über die dritte Einheitswurzel $\begin{eqnarray} \eta = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \cdot \frac{2 \pi}{3}} \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} \eta^3 = 1 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^{\operatorname{i} \omega t} + \operatorname{e}^{\operatorname{i} \omega t + \operatorname{i} \cdot \frac{2 \pi}{3}} + \operatorname{e}^{\operatorname{i} \omega t + \operatorname{i} \cdot \frac{4 \pi}{3}} = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \omega t} \left( 1 + \eta + \eta^2 \right) = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \omega t} \frac{1 - \eta^3}{1 - \eta} = 0 \end{eqnarray}$ Und durch Übergang zum Realteil folgt das Gewünschte.

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