Ein mathematischer Satz

23.08.2006, 23:42

akechi90

Ein mathematischer Satz

Ich habe einen Satz aufgestellt, und möchte von euch wissen, ob er richtig ist:

Satz: Es bilden die Zahlen a,b,c,... eine unendlich lange arithmetische Progression in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Ein Polynom hat genau dann den Grad n, wenn die n-te Diffenzensenkung von $\begin{eqnarray*} f(a),f(b),f(c),... \end{eqnarray*}$ die erste Differenzsenkung ist, in der nur gleiche Glieder vorkommen.

Unter einer Differenzsenkung verstehe ich folgendes:
Die Werte $\begin{eqnarray*} f(a),f(b),f(c),... \end{eqnarray*}$ des Polynoms werden nacheinander in einer Reihe geschrieben, unter die Reihe schreibt man die Werte $\begin{eqnarray*} f(b)-f(a),f(c)-f(b),... \end{eqnarray*}$ .

Der Satz besagt, dass wenn nach der n-ten Differenzsenkung erstmals alle Glieder der Reihe gleich sind, das Polynom den Grad n hat.
Diese Zahl bezeichne ich als $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .
Außerdem behaupte ich, dass für den Koeffizenten $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ des Polynoms gilt $\begin{eqnarray*} a_{n}= \frac{k}{n!} \end{eqnarray*}$ .

Versuche, den Satz mithilfe von vollständiger Induktion zu beweisen, sind mir zwar schon gelungen, aber ich bin mir nicht sicher, ob ich alles richtig gemacht habe.
Deswegen wollte ich hier nochmal nachfragen, ob der Satz denn nun richtig ist. Wink

24.08.2006, 00:56

Lazarus

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Ich vermute ja das ich dich falsch versteh, aber lass mich mal ein Beispiel machen.

Gegeben seien die Folge $\begin{eqnarray*} (a_i)_{i\in\mathbb N}=a_0+i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_0 :=1 \end{eqnarray*}$ sowie ein Polynom 2ten Grades, sei es hier der Einfachheit zuliebe mal die Normalparabel: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist offentsichtlicherweise von Grad $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ .

Nun nehme ich also die ersten paar Folgeglieder, und wähle ihren Funktionswert:

$\begin{eqnarray*} f(1)&=&1 \\ f(2)&=&4\\ f(3)&=&9\\ f(4)&=&16\\ f(5)&=&25 \end{eqnarray*}$

Nun nehme ich diese Folgeglieder und ziehe sie Paarweise voneinander ab.

$\begin{eqnarray*} f(2)-f(1)&=&3 \\ f(3)-f(2)&=&5 \\ f(4)-f(3)&=& 7 \\ f(5)-f(4)&=&9 \end{eqnarray*}$

und was genau soll jetzt passieren ?

24.08.2006, 08:59

Denjell

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$\begin{eqnarray*} f(3)-f(2)-(f(2)-f(1))&=&2 \\ f(4)-f(3)-(f(3)-f(2))&=&2 \\ f(5)-f(4)-(f(4)-f(3))&=& 2 \\ \end{eqnarray*}$

2. Differenzsenkung, alle Elemente gleich -> Rang = 2

24.08.2006, 09:33

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Zitat:

Original von akechi90
Außerdem behaupte ich, dass für den Koeffizenten $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ des Polynoms gilt $\begin{eqnarray*} a_{n}= \frac{k}{n!} \end{eqnarray*}$ .

Das stimmt aber nur, falls der Abstand in der arithmetischen Progression gleich 1 ist. Für allgemeinen Abstand $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ müsste $\begin{eqnarray*} a_{n}= \frac{k}{d^nn!} \end{eqnarray*}$ gelten.

24.08.2006, 13:35

irre.flexiv

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Der Satz ist nicht schwer einzusehen.

$\begin{eqnarray*} (f_n) = (f(a_n)) \end{eqnarray*}$ ist eine arithmetische Folge grad(f)-ter Ordnung.

Für genau die gilt ja das die grad(f)-te Differenzfolge konstant ist.

Umgekehrt gilt das auch.

Ist die n-te Differenzfolge konstant, lässt sich a_n durch ein Polynom beschreiben.

24.08.2006, 13:36

Lazarus

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Zitat:

Original von Denjell
$\begin{eqnarray*} f(3)-f(2)-(f(2)-f(1))&=&2 \\ f(4)-f(3)-(f(3)-f(2))&=&2 \\ f(5)-f(4)-(f(4)-f(3))&=& 2 \\ \end{eqnarray*}$

2. Differenzsenkung, alle Elemente gleich -> Rang = 2

Ah! Danke!
Da wars wohl schon zu spät um das nachvollziehen zu könen.
Jetzt ist alles klar und dann stimmts natürlich.

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