Konvergenz zeigen

09.11.2008, 18:51

Fossilmax

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Konvergenz zeigen

Hallo!
Ich soll zu folgender Aufgabe rausfinden ob die Folge konvergiert oder nicht:
$\begin{eqnarray*} {a_n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n²-3n+2}{2n²+4n+10} \end{eqnarray*}$

Habe es erst mal nach der guten alten Schulmethode geschaut ob es einen Grenzwert gibt.Er sollte also nach einsetzten von hohen Zahlen bei 0,5 liegen!
Ich soll aber mit Hilfe der Sätze zum Epsilon Kriterium zeigen ob die Folge konvergent ist.
Kann mir nur wie geht das?

09.11.2008, 19:09

system-agent

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Dein vermuteter Grenzwert ist richtig.
Nach Definition von Grenzwert muss sich jetzt also die Differenz
$\begin{eqnarray*} |a_n-\frac{1}{2}| \end{eqnarray*}$
kleiner bekommen lassen als jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gross.

09.11.2008, 19:13

Fossilmax

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Ok,aber wie bestimme ich das Epsilon?

09.11.2008, 19:17

system-agent

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Du darfst doch nicht Epsilon bestimmen unglücklich

unglücklich

Die Folge ist genau dann konvergent gegen den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , wenn man für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ finden kann so, dass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} |a_n-\frac{1}{2}|<\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

Das war die Definition. Du musst also vielmehr ein geeignetes $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ finden wie gefordert.

09.11.2008, 19:22

Fossilmax

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Ok,gut, wie finde ich denn das N?Ich verstehe die Definitionen nicht, das ist das Problem!
Kannst du mir bitte bei dieser Aufgabe SChritt für Schritt zeigen was zu machen ist??

09.11.2008, 19:23

system-agent

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Nein, du musst erstmal die Definition verstehen und deshalb: was verstehst du daran nicht?

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09.11.2008, 19:34

Fossilmax

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Ich verstehe nicht was es mit diesem N und Epsilon überhaupt auf sich hat.Ich weis eigentlich nur das ein Grenzwert ein Wert ist an den sich die Folge annähert.
Dieses ganze Zeichengewirr ist noch ganz neu für mich.Ich kann aus der Definition einfach nicht da herausnehmen was sie aussagt.Im Grunde genommen verstehe ich die Definiion also überhaupt nicht.

09.11.2008, 20:15

klarsoweit

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Eigentlich ist das ganze ein Spielchen. Ich gebe dir eine Zahl größer Null an (wir nennen es epsilon) und du mußt mit eine natürliche Zahl sagen (wir sagen dazu N), so daß der Abstand aller Folgenglieder, deren Index größer als dieses N ist, von dem Grenzwert g kleiner als mein epsilon ist.

Wenn ich ein großes epsilon wähle (sagen wir 1000), dann wird dir das leicht gelingen. Nehme ich ein kleines epsilon (sagen wir mal 1/1000), dann mußt du dir schon etwas mehr Mühe geben. Wenn es dir gelingt, zu jedem beliebigen epsilon ein geeignetes N zu finden, dann ist g der Grenzwert der Folge.

09.11.2008, 20:52

Fossilmax

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Ok,sagen wi ich wähle also für Epsilon 1000.
Und ich setze 10 für n ein.
Dann würde ich als Ergebniss | $\begin{eqnarray*} 10^-4 \end{eqnarray*}$ |<1000
Das würde die Ungleichung erfüllen.
Kann ich dann für N 9 wählen und damit wäre die Konvergenz bewiesen oder wie soll ich das verstehen?

10.11.2008, 08:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von Fossilmax
Ok,sagen wi ich wähle also für Epsilon 1000.

Nix da, ich wähle das epsilon und du mußt das passende N finden.

Zitat:

Original von Fossilmax
Und ich setze 10 für n ein.
Dann würde ich als Ergebniss | $\begin{eqnarray*} 10^-4 \end{eqnarray*}$ |<1000

Wenn ich für N (großes N, nicht kleines n) die 10 nehme und mal a_10 berechne, komme ich auf a_10 = 0,288. Wenn ich als Grenzwert g den Wert 0,5 vermute, dann ist $\begin{eqnarray*} |a_{10} - g| = |0,288 - 0,5| = 0,212 < 1000 = \epsilon \end{eqnarray*}$
Wie bist du da auf $\begin{eqnarray*} |10^{-4} \end{eqnarray*}$ gekommen? verwirrt

verwirrt

Die Frage ist nun, ob für alle Folgenglieder a_n mit n > N eben die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |a_n - g| < \epsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

Wenn du das für epsilon = 1000 gezeigt hast, ist aber noch lange nichts beweisen. Ich bin ja gemein. Ich werde mir dann ein kleineres epsilon aussuchen, vielleicht epsilon = 1/1000. Und wenn du dafür ein N gefunden hast, bin ich noch gemeiner und nehme ein noch kleineres epsilon, vielleicht epsilon = 1/1000000. Ich nehme nicht an, daß du jedesmal die Rechnung von neuem machen willst. Von daher solltest du mal $\begin{eqnarray*} |a_n - g| \end{eqnarray*}$ rechnen und schauen, ab welchem N der Ausdruck $\begin{eqnarray*} |a_n - g| \end{eqnarray*}$ kleiner als epsilon wird.

10.11.2008, 11:03

Fossilmax

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Gut habe ih gemacht!
Wenn ich also das ganze einsetze und ein wenig umforme steht am schluss noch

| $\begin{eqnarray*} \frac{-5}{2n+4} \end{eqnarray*}$ | da.
Die Ungleichung wird also für alle n<-1,9975 und alle n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 rfüllt.
Ist die Konvergenz damit bewiesen?

10.11.2008, 11:06

WebFritzi

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Wo ist das Epsilon denn geblieben? Du solltest das n in Abhängigkeit vom Epsilon berechnen.

10.11.2008, 11:10

Fossilmax

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ok....ich mus leider los uni fängt gleich an.....gute zeiten ne??^^
ich versuche es heute nachmittag nochmal

10.11.2008, 17:12

Fossilmax

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So!Also habe jetzt|an-0,5|< Epsilon nochmal aufgelöst.

Jetzt musste mir nur noch sagen ob ich das richtig gemacht habe:

Habe mal auf den gleichen Nenner gebracht, und n ausgeklammert und gekürzt.
Dann habe ich noch folgendes da stehen:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{-5n-3/n}{2n+4+10/n} \mid \end{eqnarray*}$

Darf ich die - $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n} \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} \frac{10}{n} \end{eqnarray*}$ dann weg lassen da die ja bei großne n gegen 0 gehen`?
Wenn ja habe ich am Schluss dann da stehen $\begin{eqnarray*} \frac{2,5}{Epsilon} \end{eqnarray*}$ -2<n

Habe ich damit dann bewiesen was ich beweisen muss und bin fertig??

10.11.2008, 19:03

Fossilmax

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Kann man das so machen??

10.11.2008, 19:16

WebFritzi

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Zitat:

Original von Fossilmax
n ausgeklammert und gekürzt.

Mach das ein zweites mal.

10.11.2008, 19:22

Fossilmax

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ok dann habe ich da $\begin{eqnarray*} \mid -2,5 \mid \end{eqnarray*}$ <Epsilon stehen.
Habe ich es dann bewiesen??
Also MUSS Epsilon größer als 2,5 sein.Und as wars dann schon?
Oder muss ich dann noch was machen??

10.11.2008, 19:25

Fossilmax

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und das -3/n² das 4/n und das 10/n² fällt dann weg,habe ich das richtig angenommen??

10.11.2008, 19:26

WebFritzi

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Ich habe keine Lust auf Bruchstücke. Zeig mir deine vollständigen Gedankengänge.

10.11.2008, 19:32

Fossilmax

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Also wenn ich dann das n ein zwietes mal wie du es bereitsgesagt hast ausklammere hab ich dann $\begin{eqnarray*} \mid \frac{n(-5-3/n²)}{n(2+4/n+10/n²)} \mid \end{eqnarray*}$ da stehen.
N kann man kürzen.
Dann steht da noch im Zähler dieses -3/n² und im Nenner dieses 4/n und 10/n².
Kann man die dann weglassen und einfach davon ausgehen das die bei großen n sowieso gegen 0 gehen und dann hat man noch $\begin{eqnarray*} \mid \frac{-5}{2} \mid \end{eqnarray*}$ < Epsilon da stehen.
Also 2,5<Epsilon
Ist man dann fertig mit dem was man machen soll,bzw ist die Konvergenz damit bewiesen?

10.11.2008, 19:42

WebFritzi

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Zitat:

Original von Fossilmax
n ausgeklammert und gekürzt.
Dann habe ich noch folgendes da stehen:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{-5n-3/n}{2n+4+10/n} \mid \end{eqnarray*}$

Ich war davon ausgegangen, dass du hier einen Tippfehler gemacht hattest. Kürzen sollte man in der Uni schon können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.11.2008, 19:54

Fossilmax

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ja sry...im Zähler muss das n bei -5n natürlich weg.

Also wenn ich n dann nochmal ausklammere und kürze bleibt dann noch $\begin{eqnarray*} \mid \frac{(-5/n-3/n²)}{(2+4/n+10/n²)} \mid \end{eqnarray*}$ da stehen.

Irgendwie verstehe ich jetzt gar nichts mehr.Was soll ich denn dami jetzt machen?

10.11.2008, 19:57

Fossilmax

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dann wäre es ja wenn meine vermutung stimmt das man das machen darf:
-5/n geht gegen 0 und -3/n² geht gegen 0 und 4/n und 10/n² acuh gegen und und da würde dann noch $\begin{eqnarray*} \mid \frac{0}{2} \mid \end{eqnarray*}$ da stehen?
oder wie?

10.11.2008, 20:06

WebFritzi

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Habt ihr denn in der Vorlesung schon die Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen bewiesen?

Wenn ja, dann kannst du das mit dem Kürzen auch gleich mit der Ausgangsfolge machen. Wenn nein, so musst du die Definitoin benutzen und den (Betrag des) ungekürzten Bruch(es) abschätzen.

10.11.2008, 20:18

Fossilmax

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welche rechenrgeln meinst du?
sowas wie $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to unendl.} (a_n +b_n) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to unendl.} a_n \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to unendl.} b_n \end{eqnarray*}$ = a+b

usw??

11.11.2008, 03:30

WebFritzi

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Ja, genau diese Regeln meine ich.

11.11.2008, 09:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von Fossilmax
Also wenn ich n dann nochmal ausklammere und kürze bleibt dann noch $\begin{eqnarray*} \mid \frac{(-5/n-3/n²)}{(2+4/n+10/n²)} \mid \end{eqnarray*}$ da stehen.

Meine Güte, wird hier wüst rumgerechnet. unglücklich

unglücklich

Warum bleiben wir nicht bei $\begin{eqnarray*} \mid \frac{-5n-3}{2n^2+4n+10} \mid \end{eqnarray*}$ ?

Wie man leicht sieht, ist: $\begin{eqnarray*} \mid \frac{-5n-3}{2n^2+4n+10} \mid = \frac{5n+3}{2n^2+4n+10} \leq \frac{5n+3n}{2n^2} = \frac 4 n \end{eqnarray*}$

Wenn wir also zu epsilon > 0 das N(epsilon) = 4 / epsilon wählen, dann ist für n > N(epsilon) = 4 / epsilon in der Zusammenfassung aller Rechenschritte:

$\begin{eqnarray*} |a_n - \frac 1 2| = \mid \frac{-5n-3}{2n^2+4n+10} \mid = \frac{5n+3}{2n^2+4n+10} \leq \frac{5n+3n}{2n^2} = \frac 4 n < \epsilon \end{eqnarray*}$

Natürlich kann man das auch mit Grenzwertsätzen zeigen. Die Frage ist eben, was in der Aufgabe verlangt ist.

11.11.2008, 10:09

AD

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Da kann ich klarsoweit nur voll und ganz zustimmen: Offenbar recht weitverbreitet unter Schülern (vermutlich auch mit gehöriger Schuld einiger Lehrer) ist die Meinung, dass man unbedingt die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} | a_n-a| < \varepsilon \qquad (*) \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auflösen muss. Weit gefehlt - es genügt vollkommen, wenn man $\begin{eqnarray*} | a_n-a| \end{eqnarray*}$ großzügig nach oben durch eine einfacher strukturierte Nullfolge $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ abschätzt, dann ist nämlich $\begin{eqnarray*} b_n < \varepsilon \end{eqnarray*}$ erstens einfacher nach n auflösbar, und zweitens hinreichend für (*), und mehr braucht man ja auch gar nicht.

Im Fall $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n^2-3n+2}{2n²+4n+10} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ hat das klarsoweit soeben mit dem vollkommen ausreichenden $\begin{eqnarray*} b_n = \frac{4}{n} \end{eqnarray*}$ demonstriert.

10.02.2010, 02:37

thorbb

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Ich habe an dieses Thema anschließend eine Frage, und zwar bin ich mir nicht ganz sicher welche Abschätzungen ich machen darf, um am Ende nicht in Schwierigkeiten zu geraten, einige Abschätzungen sind sicherlich zu "heftig" (bspw: n/2 < n , blödes beispiel)

Eine Regel an die ich mich bis jetzt intuitiv gehalten habe ist, dass man die Potenz von "n" nicht ändern darf, liege ich damit richtig?

Darf man die Dreiecksungleichung benutzen, wenn man zum Beispiel einen komplizierten Zähler aus trigonometrischen Funktionen hat und nicht im gesamten beruteilen kann, ob der Term im Betrag positiv oder negativ ist?

Und wie sieht das aus, wenn man am Ende bei zB. bei (2+n)/n < epsilon ankommt? Ist dies ein zeichen dafür, dass man es beim Abschätzen übertrieben hat oder wie befreit man sich aus dieser Lage?

edit: oh, merke gerade wie alt das thema war, aber was solls, ich denke es wird immer erstis geben die sich das hier noch mal durchlesen^^

10.02.2010, 02:58

WebFritzi

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Zitat:

Original von thorbb
Eine Regel an die ich mich bis jetzt intuitiv gehalten habe ist, dass man die Potenz von "n" nicht ändern darf, liege ich damit richtig?

Vergiss solche "Regeln" ganz schnell wieder. Du darfst alles machen, was die Mathematik zulässt. Ganz einfach. Ob das am Ende sinnvoll für deine Zwecke ist, ist eine andere Frage.

Zitat:

Original von thorbb
Darf man die Dreiecksungleichung benutzen, wenn man zum Beispiel einen komplizierten Zähler aus trigonometrischen Funktionen hat und nicht im gesamten beruteilen kann, ob der Term im Betrag positiv oder negativ ist?

Und wieder: Die Dreiecksungleichung darfst du immer benutzen.

Zitat:

Original von thorbb
Und wie sieht das aus, wenn man am Ende bei zB. bei (2+n)/n < epsilon ankommt? Ist dies ein zeichen dafür, dass man es beim Abschätzen übertrieben hat?

Wenn die Aussage, die man beweisen will, stimmt, dann ja, genau. Da hilft es dann nur zu schauen, woran das lag, und ob man an einer gewissen Stelle die Abschätzung verbessern kann.

Ich kann nur immer wiederholen: Mathematik besteht nicht nur aus Regeln. Man kann im allgemeinen nicht sagen, wie man abzuschätzen hat. Das ist eben nunmal von Fall zu Fall unterschiedlich.

10.02.2010, 10:18

thorbb

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ok versteh schon....^^

es geht mir ja auch nur darum irgendwie zu vermeiden, dass mein Ausdruck am Ende zu groß wird und ich die Abhängigkeit von epsilon gar nicht mehr zeigen kann. Bei komplizierteren Funktionen komme ich dauernd in so eine Situation. Also dann anders gefragt:

Gibt es Fälle, in der die Dreiecksungleichung bereits eine zu starke Abschätzung ist?
Gibt es Abschätzungen, bei denen man sicher sein kann, dass sie den Term am Ende nicht zu stark beeinflussen?

Klar muss man dann noch von Fall zu Fall entscheiden, aber es geht mir darum meine Abschätzungen etwas besser strukturieren zu können

10.02.2010, 11:58

WebFritzi

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Zitat:

Original von thorbb
Gibt es Fälle, in der die Dreiecksungleichung bereits eine zu starke Abschätzung ist?

Ja, natürlich.

Zitat:

Original von thorbb
Gibt es Abschätzungen, bei denen man sicher sein kann, dass sie den Term am Ende nicht zu stark beeinflussen?

Nein. Nochmal: Es gibt keine allgemeinen Regeln!!!

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