Supremum, Infimum

09.11.2008, 20:55

Arturo24

Supremum, Infimum

Für Mengen $\begin{eqnarray*} A,B\subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} A+B=\{x+y : x\in A\wedge x\in B\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -A:=\{-x : x\in A\} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} \sup (-A)=-\inf (A) \end{eqnarray*}$

Entweder ich denke falsch, oder es ist wirklich so einfach:

Laut Definition sollte ja gelten:

$\begin{eqnarray*} -x\leq \sup(-A) \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} x\geq \inf (A) \Rightarrow -x\leq \inf (A) \end{eqnarray*}$

Somit $\begin{eqnarray*} \sup(-A)=-\inf(A) \end{eqnarray*}$

Kann man das so machen? Oder berücksichtige ich da etwas nicht und mache was falsch?

10.11.2008, 13:40

Arturo24

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RE: Supremum, Infimum
Ich hab eine weitere Idee:

Es gilt: $\begin{eqnarray*} -x\leq -sup(-A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -x\leq -\inf(A) \end{eqnarray*}$

Dann folgt: $\begin{eqnarray*} -x-(-x)\leq -\sup(A)+\inf(-A) \Rightarrow 0\leq \sup(-A)+\inf(A)\Rightarrow -\inf(A)\leq \sup(-A) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} -x-(-x)\leq -\inf(A)-\sup(-A)\Rightarrow \sup(-A)\leq -\inf(A) \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} \sup(-A)\leq -\inf(A) \wedge \sup(-A)\geq -\inf(A) \Rightarrow \sup(-A)=-\inf(A) \end{eqnarray*}$

Ist das so in Ordnung?

10.11.2008, 13:50

klarsoweit

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RE: Supremum, Infimum
Das ist alles irgendwie ziemlich wüst. Du schreibst viel, aber es wird eigentlich nie wirklich klar, warum das eine oder andere tatsächlich gelten soll.

Wenn -inf(A) das Supremum von -A sein soll, dann mußt du erstmal zeigen, daß -inf(A) überhaupt eine obere Schranke von -A ist. Schauen wir dazu auf:

Zitat:

Original von Arturo24
Wegen $\begin{eqnarray*} x\geq \inf (A) \Rightarrow -x\leq \inf (A) \end{eqnarray*}$

Erstmal muß es heißen:
$\begin{eqnarray*} x \geq \inf(A) \Rightarrow -x \leq -\inf(A) \end{eqnarray*}$

Damit wäre dann also -inf(A) eine obere Schranke von -A.

Jetzt fehlt noch, daß -inf(A) die kleinste obere Schranke von -A ist.

10.11.2008, 14:11

Arturo24

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RE: Supremum, Infimum
Wie bekomme ich das raus?
Ich weiß dass $\begin{eqnarray*} \inf(A) \end{eqnarray*}$ so definiert ist, dass es die größte untere Schranke ist, folgt dann daraus automatisch dass $\begin{eqnarray*} -\inf(A) \end{eqnarray*}$ die größte obere Schranke ist?

10.11.2008, 14:28

klarsoweit

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RE: Supremum, Infimum

Zitat:

Original von Arturo24
folgt dann daraus automatisch dass $\begin{eqnarray*} -\inf(A) \end{eqnarray*}$ die größte obere Schranke ist?

Also wenn, dann die kleinste obere Schranke und eben von der Menge -A. Und das soll hier ja gerade gezeigt werden.

Schau doch mal nach, wie denn das Infimum definiert ist. Am besten schreibst du die Definition dann auch hier hin.

10.11.2008, 14:35

Arturo24

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RE: Supremum, Infimum
Die Definition ist folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} M\subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ Menge

$\begin{eqnarray*} I\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt Infimum von M,

(1) $\begin{eqnarray*} x\leq s \forall x\in M \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} \forall i'\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall x\in M: x\leq i' \Rightarrow i<i' \end{eqnarray*}$

Nur fällt mir jetzt gerade nicht ein wie ich das zeigen soll verwirrt

10.11.2008, 14:44

klarsoweit

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RE: Supremum, Infimum
Das ist anscheinend die Definition vom Supremum, wobei bei (2) alle i in s umgenannt werden sollten. Die können wir zwar auch gebrauchen, weil wir ja ein Supremum zeigen soll, aber ohne die Definition vom Infimum geht es nicht weiter.

10.11.2008, 14:48

Arturo24

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RE: Supremum, Infimum
Ich meinte

(1) $\begin{eqnarray*} x\geq i \forall x\in M \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} \forall i'\in \mathbb R \forall x\in M: x\geq i' \Rightarrow i>i' \end{eqnarray*}$

10.11.2008, 15:15

klarsoweit

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RE: Supremum, Infimum
OK. Sei jetzt y aus -A. Es ist dann also y = -x mit x aus A. Daß gilt $\begin{eqnarray*} y \leq -inf(A) \forall y \in -A \end{eqnarray*}$ haben wir oben schon gezeigt.

Jetzt brauchen wir noch:

$\begin{eqnarray*} \forall s' \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall y \in -A: y \leq s' \Rightarrow -inf(A) < s' \end{eqnarray*}$

Wenn also y <= s' ist für alle y aus -A, was kannst du dann folgern?

10.11.2008, 17:22

Arturo

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RE: Supremum, Infimum
Ich folgere daraus dass $\begin{eqnarray*} y\leq \sup(-A) \end{eqnarray*}$ ist.

11.11.2008, 09:55

klarsoweit

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RE: Supremum, Infimum
Nein, du folgerst das daraus:

Wenn für alle y aus -A y <= s' ist, dann ist -x <= s' bzw. x >= -s'. Da dies für alle x aus A gilt, ist also -s' eine untere Schranke von A.

Also gilt: inf(A) >= -s' <==> -inf(A) <= s'.

Damit ist die 2. Supremumseigenschaft gezeigt. Fertig.

Das war jetzt schwer, oder?

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