Konvergenzradius einer Potenzreihe

09.11.2008, 21:59	trillian	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius einer Potenzreihe Hi, es geht um den Konvergenzradius der Potenzreihe: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~k! x^k \end{eqnarray}$ Benutze ich das Quotientenkriterium, son bekomme ich als Konvergenzradius 0 und bekomme schliesslich, dass die Reihe nur für x= 0 konvergiert. Nun habe ich dasselbe auch noch mit dem Wurzelkriterium versucht: Dabei bekomme ich aber den Konvergenzradius 1. Und zwar habe ich dabei den folgenden Schritt gemacht. $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2} * ...* \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ Diese einzelnen Grenzwerte gehen ja alle gegen 1. Wo ist hier der Fehler? Darf ich hier die Produktregel für Grenzwerte nicht verwenden und wenn ja, warum nicht? Vielen Dank für die Hilfe. Lg Trillian
09.11.2008, 22:15	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, darfst du nicht. Die Produktregel darf man verwenden, wenn man endlich viele und für jedes $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ die gleiche Anzahl an Faktoren hat. Hier wächst aber die Anzahl der Faktoren mit $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , deswegen ist die Regel nicht anwendbar.
09.11.2008, 22:23	trillian	Auf diesen Beitrag antworten »
okay.... verstehe vielen dank!! glg, trillian

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