Konvergenz

24.08.2006, 14:39

naomi

Konvergenz

Welche der folgenden Reihen ist konvergent??
und wie lautet der Grenzwert??

$\begin{eqnarray*} 1) \sum_{k=0}^\infty~\frac{2}{3^k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2) \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{3}{ 2^k} \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~\ \frac{2^{k+1} }{ 3^{k}} \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~ \frac{3^{k}}{2^{k+1}} \end{eqnarray*}$

24.08.2006, 15:12

brunsi

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RE: Konvergenz
schreib mal als kleine erleichterung die ersten 4 Glieder hin und bilde dann mal die Limiten!!

24.08.2006, 15:18

Lazarus

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Grundlegend notwendig dafür dass eine Reihe konvergent ist, dass ihre dazugehörige Folge eine Nullfolge bildet. Da dies noch nicht ausreicht (siehe Harmonische Reihe) gibts ja ne ganze Latte Konvergenzkriterien. Welche Kennst du und siehst du hier ne Möglichkeit die anzuweden ?

\\edit: Jetzt hab ichs ganz vergessen: noch ein Stichwort: Geometrische Reihe .. Siehst du hier einen Angriffspunkt ?

24.08.2006, 15:41

naomi

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Konvergenz
Werde die Kriterien mal anwenden!

Wie ist das bei der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{k-1}{2k+1} \end{eqnarray*}$ !

Wie kann ich da formal zeigen, dass sie nicht konvergent ist! Wie würde das aussehen??

24.08.2006, 15:44

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Das allererste zu überprüfende notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz ist, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden. Und das ist hier bereits verletzt.

24.08.2006, 15:45

naomi

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Konvergenz
Ja das weiß ich, aber wie zeige ich das??

24.08.2006, 15:50

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Das gehört zu den Grundfertigkeiten der Folgenkonvergenz, die Betrachtung solcher gebrochen rationaler Ausdrücke $\begin{eqnarray*} \frac{P(k)}{Q(k)} \end{eqnarray*}$ :

Division durch die höchste Potenz von Zähler und Nenner, in dem Fall ist das $\begin{eqnarray*} k^1=k \end{eqnarray*}$ , man erhält

$\begin{eqnarray*} \frac{k-1}{2k+1} = \frac{1-\frac{1}{k}}{2+\frac{1}{k}} \end{eqnarray*}$ .

Und was liefert jetzt $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ ?

24.08.2006, 15:50

Lazarus

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In dem du den grenzwert der Folge berechnest:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$

Wenn da dann nicht $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ rauskommt kannst du dir trivialerweise die Betrachtung der Reihe sparen.

24.08.2006, 16:22

naomi

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Konvergenz
Wie kann ich folgendes auf Konvergenz überprüfen:

$\begin{eqnarray*} 1- \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} }- \frac{1}{\sqrt{4} } \end{eqnarray*}$ ...

24.08.2006, 16:34

Ben Sisko

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RE: Konvergenz
Bei wechselndem Vorzeichen schaut man sich erstmal das Leibniz-Kriterium an!

24.08.2006, 16:41

naomi

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Konvergenz
Konvergent, wenn monotone Nullfolge! Wie zeige ich denn das?

24.08.2006, 18:10

naomi

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Konvergenz
So hab mal die obere Aufgabe versuch zu rechnen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{2}{} 3^{k} = 2\sum_{k=0}^\infty~ (\frac{1}{3} )^k = \frac{1}{1-\frac{1}{3} } = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

2\cdot \frac{3}{2} = 3 also konvergent

Die nächste genau so, =6 auch konvergent

Und die anderen beiden mit dem Quotientenkriterium, beide konvergent?

24.08.2006, 18:24

JochenX

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davon abgesehen, dass die Gleichung nicht stimmt, weil du nicht einfach den Faktor 2 plötzlich einfach weglassen kannst.....

wenn du schon einen Reihenwert 3 berechnest, wieso sagst du dann noch divergent??

Ganz ehrlich, ich rate dir, bevor du solche Aufgaben angehst, noch einmal grundlegende Dinge zu lernen (was bedeutet konvergent/divergent z.B.).
Die Fragen, die du darüber zu Folgen stellst, geben auch nicht gerade das Gefühl, als ob du davon schon genug Ahnung hättest.

Also tu dir selbst den Gefallen, wiederhole das Thema erst mal von Anfang an und bevor du nicht sicher mit Folgen umgehen kannst, vergiss diese Reihenaufgaben.

24.08.2006, 18:58

naomi

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Konvergenz
Ich lasse den Faktor 2 nicht weg, ziehe ihn wieder rein. Mein grenzwert ist 3 und mein q ist 1/3 also konvergent. Geometrische Reihe q< 1!

24.08.2006, 19:41

JochenX

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Zitat:

Ich lasse den Faktor 2 nicht weg, ziehe ihn wieder rein.

nein, das tust du nicht.
Du lässt ihn wegfallen, bekommst dann 3/2 und holst ihn dann erst in der Nebenrechnung wieder zurück.

Das ist soviel wie:
$\begin{eqnarray*} 2*(5+3)=8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2*8=16 \end{eqnarray*}$
das Endergebnis stimmt, aber die erste Zeile ist schlichtweg falsch.

Zitat:

Mein grenzwert ist 3 und mein q ist 1/3 also konvergent. Geometrische Reihe q< 1!

und wieso schreibst du dann immer "divergent" oben hin?
edit: ah sehe, du hast das editiert; na dann kann man das natürlich nicht mehr verstehen, ich finde es nicht toll, dass du entscheidende Fehler, auf die du hingewiesen wurdest stillschweigend eine Stunde später umeditierst und dann so tust, als wäre es richtig gewesen unglücklich

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