Potenzreihe

24.08.2006, 20:32

kingskid

Potenzreihe

Hi!
hab ne frage wie man diese dgl mittels potenzreihenansatz löst:
y' = y².

also ich bin soweit, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \sum_{m=0}^n~ a_m a_{n-m} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_0 = 1 \end{eqnarray*}$

problem ist jetzt nur, dass wenn ich versuche $\begin{eqnarray*} a_0, a_1,.. \end{eqnarray*}$ zu berechnen, dann bekomm ich irgenwie immer 1 raus?? traurig

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^{0} a_m a_{0-m}=a_0a_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sum_{m=0}^{1} a_m a_{1-m} = 1/2(1+1) =1 \end{eqnarray*}$

wie kommt man nun auf die explizite lösungsfunktion?

wenn ichs über trennung der variablen mach komm ich auf $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{x+c} \end{eqnarray*}$ aber das ist irgendwie nicht das ergebnis von dem weg über potenzreihen??? *verzweifel*

viele grüße

24.08.2006, 20:41

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Dein Beitrag ist schwer lesbar, weil du

1.) den Ansatz $\begin{eqnarray*} y(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} ~ a_kx^k \end{eqnarray*}$ überhaupt nicht, und

2.) nur den Summenterm statt die durch Koeffizientenvergleich entstehende Gleichung $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{m=0}^n ~ a_m a_{n-m} \end{eqnarray*}$

hinschreibst.

24.08.2006, 20:52

kingskid

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sorry, werde es nachholen:

ansatz: $\begin{eqnarray*} y = \sum_{n=0}^{\infty}~ a_nx^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \sum_{n=1}^{\infty}~ n a_n x^{n-1} \end{eqnarray*}$

Umnummerierung ergibt: $\begin{eqnarray*} y' = \sum_{n=0}^{\infty}~ (n+1) a_{n+1} x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y² = ( \sum_{n=0}^{\infty}~ a_nx^n)^2 = \sum_{k,l}~ a_k a_l x^{k+l} \end{eqnarray*}$
wobei k von 0 bis n und l von n bis 0 laufen soll.

Koeff.vgl ergibt dann:
$\begin{eqnarray*} (n+1) a_{n+1}= \sum_{k+l=n}~ a_k a_l \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{m=0}^{n}~ a_m a_{n-m} \end{eqnarray*}$

okay, hoffe das stimmt so weit...
kannst du mir nun weiterhelfen??
viele grüße

24.08.2006, 20:55

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Tja, du hast dich ganz einfach verrechnet! Nicht bei den Koeffizienten, sondern bei der "normalen" Lösung der DGL: Die allgemeine Lösung ist $\begin{eqnarray*} y(x)=-\frac{1}{x+c} \end{eqnarray*}$ , wie so oft ein Vorzeichenfehler... Zusammen mit $\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} y(x)=-\frac{1}{x-1} = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ .

24.08.2006, 21:00

kingskid

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oh okay dankeschön, immer diese vz...

aber kannst du mir noch sagen, wie man auf dieses ergebnis mit der potenzreihe kommt?

24.08.2006, 21:01

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} ~ x^n \end{eqnarray*}$ ist eine geometrische Reihe...

24.08.2006, 21:21

kingskid

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achso, denkst du an

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~ x^n = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ ?

aber ich seh noch nicht wie man von dieser rekursiven folge dahinkommt?
weil zum schluss hab ich ja nur noch die koeffizienten und gar kein x^n mehr??

24.08.2006, 21:37

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Zitat:

Original von kingskid
weil zum schluss hab ich ja nur noch die koeffizienten und gar kein x^n mehr??

Du sprichst in Rätseln. Nochmal in Ruhe:

Du gehst vom Ansatz $\begin{eqnarray*} y(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} ~ a_kx^k \end{eqnarray*}$ aus.

Dann berechnest du ausgehend vom Startwert $\begin{eqnarray*} a_0=y(0)=1 \end{eqnarray*}$ über die Rekursion $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{m=0}^n ~ a_m a_{n-m} \end{eqnarray*}$ nach und nach alle Koeffizienten - wie du selbst festgestellt hast

Zitat:

Original von kingskid
dann bekomm ich irgenwie immer 1 raus??

sind alle Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_n=1 \end{eqnarray*}$ . Wo kommst du da raus? Bei $\begin{eqnarray*} y(x) =\sum\limits_{n=0}^{\infty} ~ 1\cdot x^n =\sum\limits_{n=0}^{\infty} ~ x^n \end{eqnarray*}$ .

24.08.2006, 21:50

kingskid

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ahsooo

da hab ich ganz schön falsch rum gedacht...

danke dass du mir das nochmal erklärt hast, jetzt versteh ich die lösung!=)

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