Aufgabe zu Trigonometrische Funktionen

24.08.2006, 20:38

brunsi

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Aufgabe zu Trigonometrische Funktionen

Bestimmen Sie die exakten Lösungsmeng der folgenden Gleichung im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos^2(x)-0,75=0 \end{eqnarray*}$

Mir ist klar, dass ich es auch einen kürzeren Lösungsweg hätte wählen können, aber ich bin bewusst den längeren gegangen um mit den trigonometrischen Funktionen noch ein wenig sicherer zu werden!!

Substituiere
$\begin{eqnarray*} cos^2(x)=1-sin^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-sin^2(x)-0,75=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin^2(x)=0,25 \end{eqnarray*}$

3.Binomische Formel liefert mir:

$\begin{eqnarray*} (sin(x)-0,5)(sin(x)+0,5)=0 \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} sin(x)=\pm 0,5 \end{eqnarray*}$

Unter Verwendung des Arcussinus erhalte ich dann für $\begin{eqnarray*} x=\pm30 \end{eqnarray*}$

Jetzt brauche ich das aber alles im Bogenmaß. Dazu muss ich ja eine Umrechnung vornehmen, wie mache ich diese am einfachsten??

24.08.2006, 20:42

xrt

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Man wandelt Grad in Radiant (Bogenmaß) so um:

$\begin{eqnarray*} 2\pi rad = 360° \end{eqnarray*}$

So kann man auch die Lösung in radiant umwandeln.

24.08.2006, 20:42

Calvin

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Ohne die Rechnung kontrolliert zu haben, geht die Umrechnung folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{x}=\frac{360°}{2\pi} \end{eqnarray*}$

Hierbei ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der Winkel im Gradmaß, x der Winkel im Bogenmaß.

24.08.2006, 20:47

AD

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Zitat:

Original von brunsi
Unter Verwendung des Arcussinus erhalte ich dann für $\begin{eqnarray*} x=\pm30 \end{eqnarray*}$

Selbst nach Bogenmaßumrechnung: Die eine deiner Lösungen liegt nicht in $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ , dafür fehlen die drei anderen tatsächlichen Lösungen.

24.08.2006, 20:51

brunsi

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als Lösungen habe ich :

$\begin{eqnarray*} L={\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}} \end{eqnarray*}$ = für das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\pi \end{eqnarray*}$

Die anderen beiden müssten dann vielfache sein??!!

edit1-2: meine ergebnise waren jetzt nur diejenigen, die ich direkt durch das ausrechnen herausbekommen habe!!

24.08.2006, 20:53

JochenX

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von der relativ unnötigen Umwandlung von sin^2 nach cos^2 mal abgesehen....

Wenn du das ganze ohne TR machen würdest, dann hättest du hier (vermutlich mit Glück) eine sinnvolle Umwandlung gefunden, da du zufälligerweise so einen schönen Wert bekommst, dessen sinus bekannt ist.
Wenn du dann aber noch den TR benutzt, dann war die Umwandlung völlig unnötig, dann hättest du das genauso mit dem Kosinus belassen können.

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24.08.2006, 20:56

brunsi

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Zitat:

aber ich bin bewusst den längeren gegangen um mit den trigonometrischen Funktionen noch ein wenig sicherer zu werden!!

ja ich wollte das ohne TR machen, wollte ein wenig mehr üben.Aber jetzt noch mal zum Aufzeigen der Periode: Wie kann ich hier aufzeigen, um welche Periode es sich handelt?? Außer Acht gelassen, dass die Periode von Cosinus und Sinus bekannt sind!!

24.08.2006, 21:00

JochenX

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sin^2 und cos^2 haben die Periode $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .
Grundwissen über den Verlauf der "normalen" sinus/kosinus-Funktionen.

Das quadrieren macht die Periode natürlich auf keinen Fall größer; durch das "positv werden der zweiten Halbwelle" widerholt sich eben alles schon einen früher.

Interessant ist hier aber nicht nur die Periode, sondern bei Sinus/Kosinusgleichungen auch fast immer die "Symmetrie-Lösungen" innerhalb einer Periode. Die darfst du nie vergessen.

Zitat:

ich wollte das ohne TR machen

dann will ich aber auch nix von "ich mache das mit arcsin" lesen

zur Periode:

24.08.2006, 21:04

brunsi

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Zitat:

sin^2 und cos^2 haben die Periode .
Grundwissen über den Verlauf der "normalen" sinus/kosinus-Funktionen.

Nehmen wir an, dass dieses Grundwissen nicht vorhanden ist, wie kann ichallgemein in einer Formel die Periode berechnen??! Gibt es dafür überhaupt eine allgemeingültige Rechnung??Ich meine so eine Formel wie z.B. für die Berechnung der Nullstellen der 1.Ableitung!!??!!

24.08.2006, 21:09

AD

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Zitat:

Original von LOED
sin^2 und cos^2 haben die Periode $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .
Grundwissen über den Verlauf der "normalen" sinus/kosinus-Funktionen.

Unnötiges Grundwissen: Wenn man sich das aus den Additionstheoremen ergebende $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$ anschaut, ergibt sich die Periode allein daraus.

24.08.2006, 21:13

JochenX

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Also du brauchst, dass die normale Periode 2pi ist und ein Additionstheorem.
Hältst du Additionstheoreme für grundlegender als das Wissen, wie diese Kurven verlaufen (nämlich mit 2pi-Periode und die zweite Hälfte wie die erste, nur negativ)??

Also ich weiß nicht, ich kenne diesen Verlauf schon bedeutend länger als überhaupt das Wort Additionstheorem.

24.08.2006, 21:46

AD

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Ich betrachte Additionstheoreme eben als so grundlegend wie Potenzgesetze. Und wenn man an die Querverbindung übers Komplexe denkt, dann sind beide ja auch miteinander verwandt.

24.08.2006, 21:48

brunsi

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@LOED: das was arthur mir da zeigt gefällt mir vom rechnerischen aspekt her viel besser. so etwas in der art hätte ich auch erwartet. stellt sich bloß noch die frage, wie ich jetzt genau die periode zwei herausrechne ohne arcus-Verwendung??!!

vielen dank schon mal für die Addis @Arthur!!

24.08.2006, 23:09

Ben Sisko

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Zitat:

Original von brunsi
Ich meine so eine Formel wie z.B. für die Berechnung der Nullstellen der 1.Ableitung!!??!!

Dafür hast du ne Formel? Nicht schlecht...

25.08.2006, 10:01

brunsi

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das ihr aber auch jedes Wort von mir auf die Goldwaage legen müsst Augenzwinkern

Augenzwinkern

, ich meine natürlich so etwas wie eine Bedingung wie beispielsweise bei der 1.Ableitung f'(x)=0 für die Extremwertbestimmung.

25.08.2006, 11:28

Ben Sisko

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Ja, aber eine Bedingung für die Periode gibt's ja. Das kleinste p, so dass f(x)=f(x+p) für alle x.

(hat eine konstante Funktion die Periode 0? verwirrt

verwirrt

)

25.08.2006, 13:18

brunsi

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ok, so jetzt aber noch mal zu den lösungen. wie kann ich egal um welches intervall es sich handelt, alle lösungen auf einmal durch rechnen herausbekommen???

25.08.2006, 13:24

system-agent

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Zitat:

Original von Ben Sisko
Ja, aber eine Bedingung für die Periode gibt's ja. Das kleinste p, so dass f(x)=f(x+p) für alle x.

(hat eine konstante Funktion die Periode 0? verwirrt

verwirrt

)

was machste dann erst mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ ?
damit könntest der funktion ja auch sowas als periode zurordnen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(x-2\cdot sgn(x)) \end{eqnarray*}$

25.08.2006, 23:53

Ben Sisko

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Zitat:

Original von system-agent
was machste dann erst mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ ?
damit könntest der funktion ja auch sowas als periode zurordnen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(x-2\cdot sgn(x)) \end{eqnarray*}$

Warum? Es gilt nicht $\begin{eqnarray*} x^2=(x-2 \cdot \text{sgn} (x))^2 \end{eqnarray*}$ für alle x.
Oder versteh ich dich nur falsch?

26.08.2006, 00:52

JochenX

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Zitat:

Original von brunsi
ok, so jetzt aber noch mal zu den lösungen. wie kann ich egal um welches intervall es sich handelt, alle lösungen auf einmal durch rechnen herausbekommen???

Auch wenn Arthur wieder was besseres finden wird (nachdem er dies aber noch nicht kundgetan hat, will ich dich hier mal nicht hängen lassen und halt mal meine Patzlösung präsentieren):
In den "relativ einfachen" Fällen empfehle ich neben dem Grundwissen mit dem du die Periode bestimmst noch Grundwissen über die Symmetrie der Funktionen.
Dass alle Lösungen innerhalb einer Periode ausreichen sollet klar sein, egal, wie groß das Gesamtintervall ist.
Zur Not findest du eine Lösung, wenn es nicht ein bekannter Wert ist, mit den Arcustasten und zur Not halt deinem TR rundungsweise.
Die andere(n) findest du dann über die Symmetrie, ich denke aber, das Stichwort Symmetrie ist oben schon gefallen.

Z.B. zur einfachen Gleichung sin(x)=c (0<c<1) findest du mit dem arcussinus eine Lösung, die andere findest du durch Wissen der Achsensymmetrie zur Achse pi/2.
Für den einfachen Fall c=1/2 findest du z.B. pi/6 als Lösung, dann finden wir die andere Lösung über die Symmetrie als 5pi/6.

In den schwereren Fällen musste halt bissl mehr denken, aber Symmetrien helfen dir oft.

Zur Frage, was wir mit f(X)=X^2 und Periode machen, ist einfach. Gar nix, denn diese Funktion ist völlig unperiodisch.

26.08.2006, 12:35

system-agent

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Zitat:

Original von LOED
Zur Frage, was wir mit f(X)=X^2 und Periode machen, ist einfach. Gar nix, denn diese Funktion ist völlig unperiodisch.

ja, das weiß ich

zur vollständigkeit:
ich meinte lediglich, dass bei $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ immer gilt:
$\begin{eqnarray*} f(-x)=f(x) \end{eqnarray*}$ und um das auszunutzen und damit eine pseudoperiode zu basteln hatte ich mir das ausgedacht, aber wie LOED sagte, ist das wohl schlicht blödsinn smile

smile

27.08.2006, 14:12

Ben Sisko

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Zitat:

Original von system-agent
zur vollständigkeit:
ich meinte lediglich, dass bei $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ immer gilt:
$\begin{eqnarray*} f(-x)=f(x) \end{eqnarray*}$ und um das auszunutzen und damit eine pseudoperiode zu basteln hatte ich mir das ausgedacht, aber wie LOED sagte, ist das wohl schlicht blödsinn smile

smile

Vielleicht hätte ich noch dazuschreiben sollen, dass p fest ist und nicht von x abhängen darf.

27.08.2006, 18:35

system-agent

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ja, obwohl ich weiß schon was mit dem T und der periode gemeint ist, aber bei deinem einwand ist mir eben gleich $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ eingefallen und dann hab ich mal versucht da irgendwas dran rum zu basteln, sinnvoll hin oder her

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