Konvergenz von Reihen: Cauchy/Majorantenkriterium

10.11.2008, 13:24

axelt

Konvergenz von Reihen: Cauchy/Majorantenkriterium

Also wir machen neuerdings Konvergenz von Reihen und haben gerade Aufgaben wo wir die einzelnen Kriterien dran ausprobieren sollen. Jetzt hatten wir aber für das Majorantenkriterium und das Cauchy-Kriterium noch garkeine Beispiele , gibts da irgendwo hier welche zu?

Und dann folgende Aufgabe: Überprüfen der Konvergenz von

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty ~{\frac{1}{\sqrt[n]{ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} } } } \end{eqnarray*}$

Die Reihe divergiert, nur wie zeige ich das? Schätze mit einem der Kriterien die ich noch nicht wirklich kann. Also mit Quotienten oder Wurzelkriterium kann man ja hier nicht wirklich was anfangen (glaube ich zumindest...).

edit: Hatte das auch schonmal umgeschrieben also das man (n(n-1))/2 unter dem Bruch hatte, hat mich aber auch nicht weitergebracht...

Wäre super wenn mir das mal jemand erklären würd :-)

Danke schonmal

10.11.2008, 13:27

tmo

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Berechne einfach $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\binom{n}{2}} \end{eqnarray*}$

10.11.2008, 13:55

axelt

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Ergibt erstmal umgeschrieben

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{\frac{n-1}{2} } \end{eqnarray*}$

Wobei ich aus einer vorherigen HA davon ausgehen kann, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergiert.

Der zweite Faktor konvergiert wegen dem Einschließungskriterium auch gegen 1, also der gesamte Ausdruck.

Wenn der Ausdruck gegen 1 konvergiert, heisst das, dass die Reihe divergiert. Muss ich da sonst noch irgendwas zu anmerken oder reicht das so?

10.11.2008, 14:14

axelt

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Ich werf dann auch direkt noch mal ne neue in die Runde:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~ \frac{1}{2^n} + \frac{(-1)^n}{3^n} \end{eqnarray*}$

Sollte konvergieren. Leibniz geht scheinbar nicht.

10.11.2008, 14:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von axelt
Wenn der Ausdruck gegen 1 konvergiert, heisst das, dass die Reihe divergiert. Muss ich da sonst noch irgendwas zu anmerken oder reicht das so?

Wenn du noch anmerkst, daß das notwendige Kriterium der Konvergenz gegen Null nicht erfüllt ist, reicht das.

Zur nächsten Reihe: simple geometrische Reihe. smile

10.11.2008, 16:12

axelt

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Ah okay... hatte nicht an die Abschätzung gedacht.

Also nutze dann das Majorantenkriterium [ hab ich dafür also doch mal ein Beispiel =) ], folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \frac{3^n-2^n}{6^n} < \frac{3^n}{6^n}=\left( \frac{1}{2}\right)^n := b_n \end{eqnarray*}$

Zeige die Konvergenz dann mit dem Quotientenkriterium (oder kann man sich das bei der geometrischen Reihe mit x < 1 sofort sparen?) und folgere die Konvergenz der "Ausgangsreihe".

10.11.2008, 16:20

tmo

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Wo nimmst du auf einmal $\begin{eqnarray*} -2^n \end{eqnarray*}$ her?

Du musst wenn dann den Betrag nehmen:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{2^n}+\frac{(-1)^n}{3^n} \right| = 6^{-n}\left| 3^n + (-2)^n \right| \leq 6^{-n} (|3^n|+|(-2)^n|) = 6^{-n} (3^n+2^n) \end{eqnarray*}$ .

Nun kannst du weiter abschätzen.

10.11.2008, 16:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von axelt
(oder kann man sich das bei der geometrischen Reihe mit x < 1 sofort sparen?)

Ja, aber wegen |x| < 1. smile

10.11.2008, 16:28

axelt

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Dann komm ich direkt zur letzten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ {\frac{n+3}{n(n+1)(n+2)} } \end{eqnarray*}$

Nochmal Majorantenkriterium mit Abschätzung n+3 kleinergleich 2n+2 ??

$\begin{eqnarray*} n+3\leq 2n+2 \end{eqnarray*}$

10.11.2008, 17:00

klarsoweit

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Kann man so machen. Freude

10.11.2008, 18:50

axelt

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Sehr gut :-) Dann doch noch eine letzte Frage: Wie ermittle ich den Grenzwert einer Reihe? Haben wir in der VL noch nicht gemacht ist aber irgendwie trotzdem gefragt und möcht nicht bis morgen warten bis ich es erfahre :-p

Und nochmal zu dem von oben fragt sich natürlich wie man jetzt schon wieder zeigen soll dass dann die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~{ \frac{2}{n(n+2)} } \end{eqnarray*}$

konvergieren soll. Kann man das auch irgendwie mit dem Cauchy-Kriterium machen? Das wollte ich eigentlich mal benutzen weil ich noch nicht wirklich ne Ahnung hab wie das funktionieren soll :-) Wurzel- und Quotienkriterium funktionieren nicht weil das gegen 1 konvergiert, Majorantenwäre sinnlos weils schon ne Abschätzung ist, Leibniz nicht weil nicht alternierend bleibt eigentlich nurnoch CK.

Meine Überlegung wäre irgendwas dieser Art gewesen:

Cauchy Kriterium:
Bekannt das die Folgeglieder gegen 0 konvergieren.

Deshalb gilt ja das Epsilon-Kriterium. Jetzt müsste ich aber weils ne Summe ist sagen a_n < Epsilon / (n-m-1) und das wäre ja wieder von n abhängig find ich alles merkwürdig.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=m+1}^n~a_k < (n-m-1)\cdot a_n = (...) < \epsilon \end{eqnarray*}$

10.11.2008, 21:15

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Zitat:

Original von axelt
Wie ermittle ich den Grenzwert einer Reihe?

Kommt auf die konkrete Reihe an - manchmal auch gar nicht mit einem geschlossenen Ausdruck!

Die von dir genannte Reihe ist eine sogenannte Teleskopreihe bzw. -summe, die sich sehr einfach berechnen lässt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} ~ \frac{2}{n(n+2)} = \sum_{n=1}^{\infty} ~ \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Auf ähnliche Weise (vielleicht etwas schwerer) kann man deine obige Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} ~ \frac{n+3}{n(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

berechnen.

10.11.2008, 21:26

axelt

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Ah top Sache werd ich mir gleich durchlesen :-)
Nur kurz nochmal: Ich bin ich kann mir nicht vorstellen das ich sowas wissen muss von daher nochmal kurz erstmal muss ich ja doch noch die Konvergenz zeigen wie soll das bei der Abschätzung oben gehen irgendwie passt das noch nicht so recht.

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