Rekursive Folge mit Grenzwert

10.11.2008, 13:37

prinzschleifer

Rekursive Folge mit Grenzwert

Guten Tag!

Hab hier eine rekursive Folge und ich hoffe ihr könnt mir hier einen Denkanstoß geben.

$\begin{eqnarray*} a_1 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n - (a_n)^2 \end{eqnarray*}$

Hab ein paar Folgenglieder ausgerechnet: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} ;\frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16} ... \end{eqnarray*}$
Und bin offentsichlericherweise auf folgende explizite Form gekommen:
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

Diese muss ich ja eigentlich Induktiv beweisen, oder gibt es eine andere Möglichkeit?
Könnte ich zeigen, dass die Folge monoton fallend ist und beschränkt?

Nun zu meinem Induktionsbeweis:
Ich überspringe die Induktionsanahme und mach gleich mit dem Induktionsschritt weiter:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n - (a_n)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{2^n} - (\frac{1}{2^n})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{2^n} - \frac{1}{(2^n)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^{2n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{2^n}{2^{2n}} - \frac{1}{2^{2n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{2^n-1}{2^{2n}} \end{eqnarray*}$

Und das kann ja nicht stimmen, ich glaub ich hab beim Quadrieren was falsch gemacht.

Die explizite Formel sagt nämlich:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Ein andere Weg, den ich leider nicht im Kopf habe ist zu zeigen, dass die rekursive Folge nicht kleiner werden kann als 0. Dies beweist man auch durch vollständige Induktion, ich weiß es aber nicht mehr genau.

Irgendwelche Anstätze?

Vielen, vielen Dank!
prinzschleifer

10.11.2008, 13:49

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rekursive Folge mit Grenzwert

Zitat:

Original von prinzschleifer
Hab ein paar Folgenglieder ausgerechnet: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} ;\frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16} ... \end{eqnarray*}$

Das ist falsch.

Was sollst du denn machen? Auf Konvergenz prüfen und evtl. den Grenzwert bestimmen?

Wie du schon gesagt hast, gilt es dafür zu zeigen: $\begin{eqnarray*} 0 < a_n < 1 \end{eqnarray*}$ .

Schreibe mal $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n(1-a_n) \end{eqnarray*}$ , dann ist der Beweis sehr einfach.

11.11.2008, 00:19

prinzschleifer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, okay, ich seh meinen Fehler ein.

Nun zur ausgeklammerten Form:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n(1-a_n) \end{eqnarray*}$

Wie kann ich hier jetzt am besten Argumentieren.
$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ wird immer kleiner, strebt also gegen Null. Das in der Klammer erreicht zwar nie die Null, aber überschreitet auch nie die Zahl eins. Null mal eine beliebe Zahl ergibt immer null, aber wie kann ich das am besten Mathematisch notieren?

Neue Frage »

Antworten »

Rekursive Folge mit Grenzwert

Verwandte Themen