Konvergenz einer Folge

10.11.2008, 14:17

Arturo24

Konvergenz einer Folge

Sei $\begin{eqnarray*} a_n:=\frac{1+n-3n^2}{3-2n+n^2} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert, und bestimmen Sie den Grenzwert.

Also ich vermute dass der Grenzwert bei $\begin{eqnarray*} -3 \end{eqnarray*}$ liegt.

Es gilt ja: $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists n_0\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \forall n>n_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Das heißt ich muss ein geeignetes Epsilon in Abhängigkeit von n finden, wofür das gilt:

$\begin{eqnarray*} |\frac{1+n-3n^2}{3-2n+n^2}+3|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Wenn ich versuche dass nach n aufzulösen, dann bekomme ich Riesengroße Terme.
Ist mein Ansatz falsch? Oder kann ich etwas zusammenfassen, so dass es leichter ist ein geeignetes Epsilon zu finden?

Danke

10.11.2008, 14:19

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Folge
Wenn du das über das epsilon-Kriterium machen willst oder mußt, dann ist das der richtige Ansatz.

Ansonsten (wenn es erlaubt ist) kannst du auch Grenzwertsätze anwenden. Dazu vorher den Bruch durch n² kürzen.

10.11.2008, 14:30

Arturo24

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RE: Konvergenz einer Folge
Ja das mit dem kürzen wäre auch meine erste Idee gewesen, aber die Aufgabenstellung, zeigen sie dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert, hat mich zu der Idee verleitet dies so zu machen, aber da wir die Grenzwertsätze eingeführt haben könnte ich das auch dadurch machen.

$\begin{eqnarray*} \frac{1+n-3n^2}{3-2n+n^2}=\frac{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}+1}{\frac{3}{n^2}-\frac{2}{n}+1} \end{eqnarray*}$

Durch die Grenzwertsätze wissen wir ja, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n=a+b \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{\lim_{n \to \infty} a_n} {\lim_{n \to \infty} b_n}=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2}\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n^2}\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n}\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a_n\rightarrow \frac{0+0-3}{0-0+1}=-3=a \end{eqnarray*}$

Kann ich das denn so machen? Habe ich also gezeigt dass es konvergiert?

10.11.2008, 14:40

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Folge
Ja mit einer kleinen Korrektur:

Zitat:

Original von Arturo24
$\begin{eqnarray*} \frac{1+n-3n^2}{3-2n+n^2}=\frac{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}+1}{\frac{3}{n^2}-\frac{2}{n}+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1+n-3n^2}{3-2n+n^2} = \frac{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}-3}{\frac{3}{n^2}-\frac{2}{n}+1} \end{eqnarray*}$

10.11.2008, 14:49

Arturo24

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RE: Konvergenz einer Folge
Also bin ich jetzt fertig und habe gezeigt dass die Folge konvergiert und ihr Grenzwert a=-3 ist?

10.11.2008, 14:57

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Folge
Normalerweise sollte ein ja reichen. Also von mir aus nochmal: Ja.

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