Problem mit Würfelverdoppelung und Beweis der Kantenlänge |
| 10.11.2008, 18:02 | Tigerbrain | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Problem mit Würfelverdoppelung und Beweis der Kantenlänge Uns wurde die Aufgabe gestellt einen Würfel mit der Kantenlänge 2 und dem Volumen 8 zu verdoppeln. Es gilt indirekt mit Hilfe der eindeutigen Primfaktorzerlegung zu zeigen, dass für die Kantenlänge a gilt: a nicht Element von Q. Die Primfaktorzerlegung des neuen Würfels mit dem Volumen von 16 = 2*2*2*2 zeigt mir das mit dieser Zerlegung nicht das Volumen errechnet werden kann, da es drei Seiten des Würfels gibt, die gleich lang sein müssten. (Das Ergebnis 3 Wurzel 16 liegt klarer Weise zwischen 2 und 3.) Wie ich allerdings darauf komme zu zeigen, das a nicht Element der Zahlenmenge Q ist, eröffnet sich mir noch nicht. Wer mir da mit einem Tip auf die Sprünge helfen könnte, würde meinem Tag mit der Algebra ein positives Ende schenken. Besten Dank falls mir jemand helfen kann. |
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| 10.11.2008, 18:56 | Nubler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
imo ist das problem äquivalent zu zeigen, dass das polynom irreduzibel über und damit über ist. hint: lemma von gauss |
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| 10.11.2008, 19:15 | Tigerbrain | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für deinen Hinweiß Das Problem denke ich habe ich auch so weit erkannt. Wie ich allerdings von dort aus weiterkomme ist imo (= im Momment?) mein Problem. Vielleicht habe ich deinen Hinweiß noch nicht ganz geschnallt. Könntest du mir in anderen Worten erklären was du genau meinst? |
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| 10.11.2008, 19:25 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Aussage ist äquivalent dazu, dass die dritte Wurzel von 2 nicht rational ist, und für sowas gibt es ein Standard-Beweisverfahren. Kennst du z.B. den Beweis dafür, dass die Wurzel von 2 nicht rational ist? |
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| 10.11.2008, 19:36 | Tigerbrain | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beweis indirekt: Annahme für indirekten Beweis: Dritte Wurzel aus 2 sei rational. Dann ließe sich diese Zahl auch schreiben als p/q, wobei p und q teilerfremde natürliche Zahlen wären, q von 0 verschieden. (p/q)³ = 16 => p³ / q³ = 16 => p³ = 16 q³ Dann müsste p eine gerade Zahl sein (die dritte Potenz von ungeraden natürlichen Zahlen ist eine ungerade Zahl) Also lässt sich für p einsetzen p = 2n, wo n wieder eine natürliche Zahl ist. (2n)³ = 16 q³ => 8 n³ = 16 q³ => 2n³ = 4q³ Damit wäre q³ auch gerade und damit wäre (mit der gleichen Begründung wie oben) auch q eine gerade Zahl. Das aber steht im Widerspruch zu der Vorausssetzung, das p und q teilerfremd sind. q.e.d. Für meinen Fall dachte ich das so zeigen zu können. Mein tutor war davon allerdings nicht so begeistert. Bzw. merkte an, dass es noch einfacher gehen sollte. Weiß natürlich nicht ob das stimmt was ich mir da gedacht habe, bzw. was chef-guru = tutor meinte |
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| 10.11.2008, 19:39 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie du darauf kommst, ist mir schleierhaft. Wieso nimmst du außerdem die 16, wenn du doch am Anfang von der 2 sprichst? 
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| 10.11.2008, 19:51 | Tigerbrain | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das war ein Beweiß den ich gefunden habe zu dritten Wurzel aus 2. Deswegen steht da oben die 2 noch. (die muss da natürlich weg.) Da du mir sagtest das der Beweis analog zur dritten Wurzel von 2 geht, habe ich die für mich relevante Zahl 16 eingesetzt. Ich muss zeigen das die dritte Wurzel aus 16....(wie gehabt)zeigen. 2n)³ = 16 q³ => 8 n³ = 16 q³ => 2n³ = 4q³ hier habe ich nur soweit gekürzt das ich auf der linken Seite wieder 2n stehen habe. Dachte jetzt, da die linke Seite der Gleichung nun gerade sein muss, muss es auch die rechte sein. Hoffte es auf alle Fälle so verstanden zu haben!!?? Dachte mir suche einen "typischen" Beweis: kam mir irgendwie logisch vor... http://de.answers.yahoo.com/question/ind...28065850AADxtpV |
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| 10.11.2008, 19:56 | Tigerbrain | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
jetzt ist mir klar das ich anstatt der 16 auch die 2 nehmen kann. Ist der Beweiß auf dem Link den richtig? Den kann ich dafür wohl gut verstehen? |
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| 10.11.2008, 19:56 | Nubler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du musst zeigen: es gibt keine zwei ganze zahlen p und q, beide ungleich 0, für die gilt: p³=2q³ (welche potenzen von 2 können auf der linken und auf der rechten seite stehen?) die schnellste und einfachste argumentation wär jedoch: x³-2=0 irreduzibel über Z nach eisenstein => aussage jedoch glaub ich nicht, dass dir des kriterium schon zur verfügung steht |
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| 10.11.2008, 19:57 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das hatte ich nirgendwo gesagt. Du solltest die Beiträge deiner Helfer genauer lesen.
Das ist sie doch offensichtlich - egal, was q ist. Tipp zum Neuanfang: 16q³ = 2(2q)³. |
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