Austauschlemma ist verwirrend!?

25.08.2006, 12:14

Arnie

Austauschlemma ist verwirrend!?

Lerne gerade für lineare Algebra 1. Habe 2 unabhängige Musterlösungen zu folgender Aufgabe vorliegen:
v1 = (2,-6,-2,1) v2 = (3,-1/2,-1,1/2)
Bestimmen Sie zwei weitere Vektoren v3,v4 Element R4, so daß B := {v1,v2,v3,v4} eine Basis von R4 ist.

Nun unterscheiden sich jedoch die beiden Musterlösungen in der Lösung. Die eine kommt auf {v2,e2,e3,v1} und die Andere auf die Basis {v2,e1,e3,v1}? Kann man sich frei entscheiden, ob man nun e1 oder e2 nimmt? Das wäre nicht gerade mathematisch eindeutig.

Zweite kleine Frage: Warum darf e3 nicht rausfallen, wenn wir bei v2 = ... + 0e3 + ... herausbekommen? (durch das Austauschlemma bekommen beide e4 = ... + v1 + ..., durch Einsetzung von e4 in v2 wird e3 = 0!

Hoffe Ihr könnt mir helfen, habe nämlich noch weitere Aufgaben zum Durchackern vor mir...

MfG
Arnie

25.08.2006, 12:59

therisen

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Hallo,

wie kommst du nur darauf, dass eine Basis eindeutig bestimmt ist?

Beide Mengen sind zunächst einmal linear unabhängig...

EDIT: Lies dir vielleicht mal die Definitionen auf http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Vektorraum%29 durch. Vor allem die Dritte.

EDIT 2: Kannst du mal deine zweite Frage etwas mathematisch präziser formulieren? Vielleicht versteht ja unser Hellseher Jochen mehr Big Laugh

Gruß, therisen

25.08.2006, 13:25

Arnie

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Austauschlemma ist verwirrend!?
Hallo therisen,

vielen Dank für den wiki-Verweis. Ich habe bisher immer gedacht, daß es nur eine Basis geben kann... Dachte, daß man, wenn es mehrere Basen gäbe, die anderen aus deren Linearkombinationen erzeugen kann.
Nun gut. Ich verstehe jedenfalls nicht, wieso e3 NICHT rausfallen darf obwohl es 0*e1 nach dem Austauschlemma gibt.
Wieso hat man denn nun die Wahl zwischen e1 und e2?

MfG
Arnie

25.08.2006, 13:39

therisen

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Ähm, deine Basis muss doch aus genau 4 Vektoren bestehen, schließlich ist doch $\begin{eqnarray*} \dim \mathbb R^4 = 4 \end{eqnarray*}$ . Wenn du jetzt einen weg lässt, dann hast du doch nur noch 3 Augenzwinkern

Oder verstehe ich deine Frage falsch?

EDIT: Du kannst natürlich $\begin{eqnarray*} e_3 \end{eqnarray*}$ schon weglassen, aber dann musst du eben deine 3 linear unabhängigen Vektoren um einen vierten im Bunde ergänzen Augenzwinkern

Gruß, therisen

25.08.2006, 13:56

Arnie

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Ich glaube, daß Du mich falsch verstehst ;-). Die Aufgabenstellung ist eine b-Aufgabe. In der a-Aufgabe sollten wir beweisen, daß v1 und v2 l.u. sind. Also haben wir bereits 2 Basisvektoren. Nun sollen wir in dem b-Teil noch 2 weitere Basen mit Hilfe des Austauschlemma ermitteln.
In der Musterlösung wird so begonnen
$\begin{eqnarray*} v_{1} = 2e_{1} - 6e_{2} - 2e_{3} + e_{4} \Rightarrow e_{4} = -2e_{1} + 6e_{2} + 2e_{3} - v_{1} \end{eqnarray*}$
-------------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} v_{2} = 3e_{1} - \frac{1}{2}e_{2}-e_{3}+\frac{1}{2}e_{4} \end{eqnarray*}$
Durch das Austauschlemma folgt
$\begin{eqnarray*} v_{2} = 3e_{1} - \frac{1}{2}e_{2}-e_{3}+\frac{1}{2}[-2e_{1} + 6e_{2} + 2e_{3} - v_{1}] \end{eqnarray*}$
ausgerechnet dann:
$\begin{eqnarray*} v_{2} = 2e_{1} + 2\frac{1}{2}e_{2} + \frac{1}{2}v_{1} + 0e_{3} \end{eqnarray*}$

So denn. Da haben wir nun $\begin{eqnarray*} 0e_{3} \end{eqnarray*}$ . Warum ist es denn dann ZWINGEND ein Basisvektor? Und warum darf man sich $\begin{eqnarray*} e_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_{2} \end{eqnarray*}$ als weiteren Basisvektor AUSSUCHEN?

Hoffe, daß mein Anliegen jetzt ein wenig deutlicher geworden ist. Augenzwinkern

MfG Arnie

25.08.2006, 15:19

therisen

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Zitat:

Original von Arnie
In der Musterlösung wird so begonnen
$\begin{eqnarray*} v_{1} = 2e_{1} - 6e_{2} - 2e_{3} + e_{4} \Rightarrow e_{4} = -2e_{1} + 6e_{2} + 2e_{3} - v_{1} \end{eqnarray*}$

Das ist keine Äquivalenzumformung Augenzwinkern

Es ist nämlich $\begin{eqnarray*} e_{4} = -2e_{1} + 6e_{2} + 2e_{3} - v_{1} \Leftrightarrow v_{1}= -2e_{1} + 6e_{2} + 2e_{3} -e_{4} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Durch das Austauschlemma folgt
$\begin{eqnarray*} v_{2} = 3e_{1} - \frac{1}{2}e_{2}-e_{3}+\frac{1}{2}[-2e_{1} + 6e_{2} + 2e_{3} - v_{1}] \end{eqnarray*}$

Diese Folgerung hat bisher nichts mit dem Austauschlemma zu tun.

Zitat:

ausgerechnet dann:
$\begin{eqnarray*} v_{2} = 2e_{1} + 2\frac{1}{2}e_{2} + \frac{1}{2}v_{1} + 0e_{3} \end{eqnarray*}$

So denn. Da haben wir nun $\begin{eqnarray*} 0e_{3} \end{eqnarray*}$ . Warum ist es denn dann ZWINGEND ein Basisvektor? Und warum darf man sich $\begin{eqnarray*} e_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_{2} \end{eqnarray*}$ als weiteren Basisvektor AUSSUCHEN?

Ohne die Korrektheit deiner Rechnungen überprüft zu haben, kann ich mir jetzt denken, worauf das Ganze wohl hinauslaufen wird.

Es muss lediglich gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} \{v_1, \ldots, v_4 \} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist (wobei $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_4 \end{eqnarray*}$ noch zu bestimmen sind), d.h. aus $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4 \lambda_i v_i = 0 \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} \lambda_i = 0 \end{eqnarray*}$ folgen. Wir wissen bereits, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4 \mu_i e_i = 0 \end{eqnarray*}$ impliziert, dass $\begin{eqnarray*} \mu_i = 0 \end{eqnarray*}$ . Diese Tatsache machen wir uns nun zu Nutze:

Wählen wir $\begin{eqnarray*} v_3 := e_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_4 := e_2 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4 \lambda_i v_i = \sum_{i=1}^4 \lambda_i c_i e_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4 \lambda_i c_i e_i = 0 \end{eqnarray*}$ folgt nun sofort, dass $\begin{eqnarray*} c_i \lambda_i = 0 \end{eqnarray*}$ und da wir uns in einem Körper befinden, $\begin{eqnarray*} \lambda_i = 0 \end{eqnarray*}$ . Damit haben wir eine maximal linear unabhängige Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ gefunden.

Vermutlich ist also $\begin{eqnarray*} e_3 \end{eqnarray*}$ deshalb dabei, damit auch wirklich alle $\begin{eqnarray*} c_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ sind, das kann ich jetzt nicht genau sagen, da ich die Korrektheit deiner Rechnungen nicht überprüft habe.

Gruß, therisen

25.08.2006, 16:02

Arnie

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Zitat:

Original von Arnie
In der Musterlösung wird so begonnen
$\begin{eqnarray*} v_{1} = 2e_{1} - 6e_{2} - 2e_{3} + e_{4} \Rightarrow e_{4} = -2e_{1} + 6e_{2} + 2e_{3} - v_{1} \end{eqnarray*}$

Hier hat sich der Fehlerteufel eingeschlichen. Es muß nach der Umstellung nach $\begin{eqnarray*} e_{4} = ... \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + v_{1} \end{eqnarray*}$ heißen!

Zitat:

Durch das Austauschlemma folgt
$\begin{eqnarray*} v_{2} = 3e_{1} - \frac{1}{2}e_{2}-e_{3}+\frac{1}{2}[-2e_{1} + 6e_{2} + 2e_{3} - v_{1}] \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von therisen
Diese Folgerung hat bisher nichts mit dem Austauschlemma zu tun.

Unser Prof. hat jedoch extra angemerkt, daß man die Vektoren dort austauscht und das "Austauschlemma" heißt. Auf jeden Fall taucht dieses Schema in der Musterlösung auf.

Zitat:

Original von therisen
Ohne die Korrektheit deiner Rechnungen überprüft zu haben, kann ich mir jetzt denken, worauf das Ganze wohl hinauslaufen wird.

Es muss lediglich gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} \{v_1, \ldots, v_4 \} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist (wobei $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_4 \end{eqnarray*}$ noch zu bestimmen sind), d.h. aus $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4 \lambda_i v_i = 0 \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} \lambda_i = 0 \end{eqnarray*}$ folgen. Wir wissen bereits, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4 \mu_i e_i = 0 \end{eqnarray*}$ impliziert, dass $\begin{eqnarray*} \mu_i = 0 \end{eqnarray*}$ . Diese Tatsache machen wir uns nun zu Nutze:

Wählen wir $\begin{eqnarray*} v_3 := e_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_4 := e_2 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4 \lambda_i v_i = \sum_{i=1}^4 \lambda_i c_i e_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4 \lambda_i c_i e_i = 0 \end{eqnarray*}$ folgt nun sofort, dass $\begin{eqnarray*} c_i \lambda_i = 0 \end{eqnarray*}$ und da wir uns in einem Körper befinden, $\begin{eqnarray*} \lambda_i = 0 \end{eqnarray*}$ . Damit haben wir eine maximal linear unabhängige Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ gefunden.

Vermutlich ist also $\begin{eqnarray*} e_3 \end{eqnarray*}$ deshalb dabei, damit auch wirklich alle $\begin{eqnarray*} c_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ sind, das kann ich jetzt nicht genau sagen, da ich die Korrektheit deiner Rechnungen nicht überprüft habe.

Aber wieso kann man sich dann $\begin{eqnarray*} e_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_{1} \end{eqnarray*}$ als Basisvektoren aussuchen? das mit der $\begin{eqnarray*} e_{3} \end{eqnarray*}$ bekomm ich jetzt auf die Reihe, aber bei den anderen beiden weiß ich immer noch nicht warum...

25.08.2006, 16:10

therisen

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Zitat:

Original von Arnie
Aber wieso kann man sich dann $\begin{eqnarray*} e_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_{1} \end{eqnarray*}$ als Basisvektoren aussuchen? das mit der $\begin{eqnarray*} e_{3} \end{eqnarray*}$ bekomm ich jetzt auf die Reihe, aber bei den anderen beiden weiß ich immer noch nicht warum...

Und schon wieder der Fehlerteufel Augenzwinkern

Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ . Die konkrete Rechnung sollte zeigen, dass egal ob du entweder $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ zu deiner Basis hinzufügst, die $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ stets ungleich Null sind. Hast du den "Trick" bei dieser Sache verstanden?

Eine Anmerkung zum Austauschlemma: Das ist keine konkrete Rechenvorschrift (o.ä.), sondern lediglich eine Existenzaussage (also nicht konstruktiv).

Gruß, therisen

25.08.2006, 23:41

Ben Sisko

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Bevor du diese Aufgabe zu verstehen versuchst, solltest du dich dringend mit dem Begriff der Basis beschäftigen (Definition; Vektoren bilden Basis, wenn sie a) maximal linear unabhängig sind bzw. b) ein minimales Erzeugendensystem bilden) und dir das Austauschlemma selbst ansehen (Beweise können das ein oder andere Mal auch zum Verständnis eines Satzes beitragen, wenn man sie genau liest Augenzwinkern

).

Gruß vom Ben

Edit: Die Darstellung eines Vektors als Linearkombination der Basisvektoren kann auch nicht schaden bzw. wirst du benötigen.

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