Äquivalenzrelation

10.11.2008, 20:46

joeglider

Äquivalenzrelation

Hallo,

hab hier eine Aufgabe:

M:= $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ : m~n : $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ m+n ist gerade

Aus dem Bauch raus denke ich es ist kein Äquivalenzrelation :-) Aber finde kein gegenbeispiel! oder ist es eine Äquivalenzrelation?

danke

10.11.2008, 20:49

tmo

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Aus dem Bauch heraus würde ich sagen du solltest die Axiome für eine Äquivalenzrelation nachprüfen.

10.11.2008, 20:55

joeglider

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ok und wie das?
mit fallunterscheidung?
(o brauch ich für transivität)
1. Fall: $\begin{eqnarray*} m_{gerade}, n_{gerade}, o_{gerade} \end{eqnarray*}$
2. Fall: $\begin{eqnarray*} m_{ungerade},n_{ungerade}, o_{ungerade} \end{eqnarray*}$
andere Fälle gibt es nicht oder?

10.11.2008, 20:57

tmo

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Benenne doch erstmal die 3 Axiome. Mindestens 2 davon sind sehr einfach zu zeigen. Eine Fallunterscheidung braucht man überhaupt nicht.

10.11.2008, 21:21

joeglider

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ok reflexivität:
m~m $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ m + m gerade

symm:
m~n $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ m+n gerade $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ n+m gerade $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ n~m

trans:
m~n $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ m+n gerade
n~o $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ n+o gerade
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ m+n=gerade=n+o $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ m+o = gerade $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ m~o

somit wäre es Äquivalenzrelation

10.11.2008, 21:22

tmo

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Das soll doch jetzt nicht etwa ein Beweis sein oder? verwirrt

10.11.2008, 21:24

joeglider

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eigentlich schon traurig

10.11.2008, 21:28

tmo

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Die ersten 2 Axiome gehen ja noch gerade so:

Es ist $\begin{eqnarray*} m+m = 2m \end{eqnarray*}$ gerade, also ist $\begin{eqnarray*} m \sim m \end{eqnarray*}$ . Somit ist die Relation reflexiv.

Wenn $\begin{eqnarray*} m \sim n \end{eqnarray*}$ gilt, ist $\begin{eqnarray*} m+n \end{eqnarray*}$ gerade. Wegen $\begin{eqnarray*} m+n=n+m \end{eqnarray*}$ ist dann auch letzteres gerade, woraus $\begin{eqnarray*} n \sim m \end{eqnarray*}$ folgt. Somit ist die Relation symmetrisch.

Aber du kannst doch nicht allen Ernstes im Hochschulbereich einen Beweis à la "m+n = gerade = n+o" posten geschockt

Vor allem da das nicht nur formaler Mist ist, sondern auch inhaltlich nicht schlüssig ist.

10.11.2008, 21:52

joeglider

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ok schon mal danke für die bessere schreibweiße...

m~n $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ m+n=2x
n~o $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ n+o=2y
x,y $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
kann ich damit dann folgern?

11.11.2008, 12:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von joeglider
ok schon mal danke für die bessere schreibweiße...

Schreibweise. Hier wird ja nicht weiß gemacht oder vielleciht doch? verwirrt

Zitat:

Original von joeglider
m~n $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ m+n=2x
n~o $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ n+o=2y
x,y $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
kann ich damit dann folgern?

Ebenso formaler Quark. Und was sollen denn die x und y aus den reellen Zahlen, wo wir es hier doch nur mit ganzen Zahlen zu tun haben? verwirrt

Also jetzt mal ganz langsam: was ist bei der Transitivität zu zeigen?

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