Konvergenz in Wahrscheinlichkeit

10.11.2008, 20:44

biene87

Konvergenz in Wahrscheinlichkeit

Guten Abend,

ich sitze jetzt schon ne Weile an ner Aufgabe und versteh einfach nicht was ich machen soll, bzw. wie ich anfangen soll.

Die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_1,..., X_N \end{eqnarray*}$ seien unabhängig und auf (0,1) stetig gleichverteilt. Ich soll zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} (X_1*X_2*...*X_n)^{1/n} \end{eqnarray*}$ in Wahrscheinlichkeit gegen 1/e konvergiert.
Ich kann davon ausgehen, dass die benötigten Erwartungswerte und Varianzen endlich sind.

Hat da jemand ne Idee wie ich hier weiter komme?

Schönen Abend

11.11.2008, 06:36

Wissenscoder

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Hallo,
ich habe auch gerade stochastik, aber leider (noch?) keine Stochastik im Zusammenahng mit Konvergenzen, daher werde ich hier eventuell nicht helfen können.

Aber kleine Denkanstöße kann ich geben, die eventuell zu der richtigen Lösung führen^^ Wäre auf jeden Fall super, wenn hier keiner antwortet, wenn du die Antwort hier später bekannt gibst, da es mich nun auch interessiert.

Also zur Konvergenz habe ich das gefunden: http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenz_(Stochastik)

So fangen wir mal an: Du weißt, dass sie unabhängig sind. Ich nehme mal an, auch global unabhängig, damit wäre folgendes gegeben:

$\begin{eqnarray*} Wahrscheinlichkeiten(vereinigt)=P(X_1)*P(X_2)*...*P(X_n) \end{eqnarray*}$ oder?
Des weiteren ist denke ich mal gegeben, dass alle $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ die selben Wahrscheinlichkeiten besitzen.

Auch gegeben ist, dass E[X] und V[X] ungleich unendlich sind.

So nun denke ich braucht man die Konvergenzformel. Hast du da eventuell etwas?

11.11.2008, 09:57

biene87

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Hi Wissenscoder,

danke für deine Antwort. Eine Formel für die Konvergenz hab ich leider auch nicht. Weisst du, wie man Konvergenz über Integrale zeigen kann? Könnte mir durchaus vorstellen, dass das ginge?

11.11.2008, 11:10

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Der erste Schritt hier sollte doch erstmal sein, dass man das vorliegende Problem mit den Grenzwertsätzen "strukturell" in Einklang bringt. Und da liegt es bei $\begin{eqnarray*} (X_1 \cdot X_2 \cdot \ldots \cdot X_n)^{1/n} \end{eqnarray*}$ doch auf der Hand, was zu tun ist: Logarithmieren!

D.h., statt $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ betrachtet man die Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} Z_k := \ln(X_k) \end{eqnarray*}$ , dann ist nämlich

$\begin{eqnarray*} S_n := \ln \left( (X_1 \cdot X_2 \cdot \ldots \cdot X_n)^{1/n} \right) = \frac{Z_1 + \cdots + Z_n}{n} \end{eqnarray*}$

und nachzuweisen ist wegen $\begin{eqnarray*} \ln\left(\frac{1}{e}\right) = -1 \end{eqnarray*}$ dann schließlich $\begin{eqnarray*} S_n \xrightarrow{P} -1 \end{eqnarray*}$ .

Bleibt im wesentlichen lediglich übrig, sich mal die Verteilung von $\begin{eqnarray*} \ln(X) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} X\sim U(0,1) \end{eqnarray*}$ anzuschauen, insbesondere deren Erwartungswert und Varianz.

11.11.2008, 13:29

biene87

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also um den Erwartungswert zu berechnen muss ich doch $\begin{eqnarray*} E(S_n)=\int_{-\infty}^{\infty}~S_n*f(x)~dx=\int_{-\infty}^{\infty}~ln(X_1*X_2*...*X_n)^{1/n}*f(x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ und 0 sonst

Bin ich da auf dem richtigen Weg?

11.11.2008, 13:36

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Ich hab vom Einzelerwartungswert gesprochen, der überträgt sich wegen

$\begin{eqnarray*} E(S_n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n E(Z_k) = E(Z_1) \end{eqnarray*}$

auch auf die Summe.

11.11.2008, 15:00

biene87

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Hmmmm, den Hinweis versteh ich leider nicht.

11.11.2008, 15:14

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Ja, meine Güte, liest du denn gar nicht meine Beiträge durch? Da geht es doch gerade darum, den komplzierteren Wurzelausdruck auf die einfachere Summe der $\begin{eqnarray*} Z_k \end{eqnarray*}$ zurückzuführen!

Siehst du denn nicht die Verbindung zum Zentralen Grenzwertsatz bzw. noch einfacher zum Gesetz der großen Zahlen? Dann streng dich mal an!

11.11.2008, 18:27

biene87

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ja, meine Güte, liest du denn gar nicht meine Beiträge durch? Da geht es doch gerade darum, den komplzierteren Wurzelausdruck auf die einfachere Summe der $\begin{eqnarray*} Z_k \end{eqnarray*}$ zurückzuführen!

Siehst du denn nicht die Verbindung zum Zentralen Grenzwertsatz bzw. noch einfacher zum Gesetz der großen Zahlen? Dann streng dich mal an!

Natürlich les ich mir deine Beiträge durch, aber wenn ich es nunmal nicht verstehe muss ich nachfragen. Und nein, ich habe es immer noch nciht verstanden, obwohl ich das Gestz der Großen Zahlen kenne.

12.11.2008, 23:16

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Zitat:

Original von biene87
obwohl ich das Gestz der Großen Zahlen kenne.

Na dann wende es doch auf

$\begin{eqnarray*} S_n = \frac{Z_1 + \cdots + Z_n}{n} \end{eqnarray*}$

an! Unter welchen hinreichenden Bedingungen hat man denn die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ , und gegen welchen Wert?

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