Ein paar Fragen (Vektorraum, UVR)

10.11.2008, 22:44

Rolfi

Ein paar Fragen (Vektorraum, UVR)

Servus,

ich hoffe, ihr steht mir bei ein paar Aufgaben zur Seite.

Aufgabe 1:

$\begin{eqnarray*} A_n := (\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \mathbb R | x_1^n + x_2^n + x_3^n = 0) \end{eqnarray*}$

Gesucht ist die Menge aller $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , damit $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Lösung wäre:

$\begin{eqnarray*} M = (n | n = 2k + 1, k \in \mathbb N) \end{eqnarray*}$

In Worten: Die Menge aller ungerade Exponenten. Richtig so? Mich verunsichert lediglich, dass ich durch Überlegung darauf gekommen bin. In der Aufgabe heißt es lediglich: "Bestimmen Sie die Menge ..." Reicht es da, wenn ich einfach die eine Zeile da aufschreibe? Ich meine, es ist logisch. Die Exponenten müssen $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sein. 0 geht nicht, weil $\begin{eqnarray*} x^0 = 1 \end{eqnarray*}$ ist. Die geraden Zahlen $\begin{eqnarray*} z = 2k \end{eqnarray*}$ gehen auch nicht, weil das Ergebnis mit geraden Exponenten auch immer $\begin{eqnarray*} > 0 \end{eqnarray*}$ würde.

Aufgabe 2:

$\begin{eqnarray*} P_3 = (p : \mathbb R \rightarrow \mathbb R | p(x) = \sum_{k=0}^3~a_kx^k) \end{eqnarray*}$

Hier soll ich gucken, welche der beiden folgenden Mengen einen Teilraum von $\begin{eqnarray*} P_3 \end{eqnarray*}$ darstellt und das dann auch ausdrücklich beweisen:

i) $\begin{eqnarray*} A = (p \in P_3 | p(1) \geq -1) \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} B = (p \in P_3 | p(-1) = p(2)) \end{eqnarray*}$

Fangen wir mal mit i) an.

Zunächst schaue ich sicher einmal, ob der Nullvektor $\begin{eqnarray*} \vec{0} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthalten ist. Der Nullvektor als Funktion wäre dann wohl diejenige Funktion, die jedem x den Wert 0 zuordnet bzw. immer den Wert 0 annimmt, also f(x) = 0. Da weiß ich jetzt nicht, ob das bei i) mit der Ungleichung der Fall ist. $\begin{eqnarray*} p(1) = a + b + c + d \geq -1 \end{eqnarray*}$ Eigentlich schon. Ich kann alle Koeffizienten 0 sein lassen und die Bedingung $\begin{eqnarray*} > -1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ ist erfüllt.

Ich mache weiter, wenn ihr mir so weit gesagt habt, ob ich richtig oder falsch liege.

10.11.2008, 22:51

tmo

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RE: Ein paar Fragen (Vektorraum, UVR)

Zitat:

Original von Rolfi
Mich verunsichert lediglich, dass ich durch Überlegung darauf gekommen bin.

Mich würde eher verunsichern, dass die Überlegungen falsch sind. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ ist ein trivialer Untervektorraum. Also gilt was für die geraden Exponenten?

Und bei den ungeraden würde ich noch mal drüber nachdenken. Ist
$\begin{eqnarray*} A_3 := (\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 | x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 0) \end{eqnarray*}$ wirklich ein Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ?

10.11.2008, 23:00

Rolfi

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Mir ist ein Schreibfehler unterlaufen. Es sollte heißen:

$\begin{eqnarray*} A_n := (\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 | x_1^n + x_2^n + x_3^n = 0) \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

10.11.2008, 23:24

Rolfi

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RE: Ein paar Fragen (Vektorraum, UVR)

Zitat:

Original von tmo
Und bei den ungeraden würde ich noch mal drüber nachdenken. Ist
$\begin{eqnarray*} A_3 := (\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 | x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 0) \end{eqnarray*}$ wirklich ein Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ?

Wieso denn nicht? $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Mit der Bedingung, dass nun $\begin{eqnarray*} x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 0 \end{eqnarray*}$ , hätte ich z. B. mit $\begin{eqnarray*} x_1 = -1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Element von $\begin{eqnarray*} A_3 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} A_3 \end{eqnarray*}$ gibt mir also eine begrenzte Zahl von 3-dimensionalen Elementen aus und die alle sind doch wohl als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ aufzufassen. verwirrt

10.11.2008, 23:30

Rolfi

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RE: Ein paar Fragen (Vektorraum, UVR)

Zitat:

Original von Rolfiund die alle sind doch wohl als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ war wieder gemeint. Hammer

11.11.2008, 13:12

Rolfi

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Liege ich richtig oder falsch?

11.11.2008, 15:04

Reksilat

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Falsch.

Es ist $\begin{eqnarray*} (1,-1,0)\in A_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (0,-1,1)\in A_3 \end{eqnarray*}$ , aber die Summe dieser beiden Vektoren liegt nicht mehr in $\begin{eqnarray*} A_3 \end{eqnarray*}$ und somit kann es kein Unterraum mehr sein.

Edit:

Zitat:

Reicht es da, wenn ich einfach die eine Zeile da aufschreibe?

Nein, auch wenn es nicht ausdrücklich in der Aufgabenstellung steht, sollte der Rechenweg trotzdem immer beigefügt werden.

11.11.2008, 17:49

Rolfi

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Kann mir dann mal jemand den Lösungsweg erläutern? Ich sitze jetzt zwei Tage an dieser Aufgabe; ich bin gerade von einem Kumpel wiedergekommen, der Lineare Algebra I abgeschlossen hat und auch sonst gut ist, aber er konnte mir da auch nicht weiterhelfen. Meiner Meinung nach kann es gar keine zwei Vektoren aus Menge $\begin{eqnarray*} _n \end{eqnarray*}$ geben, die einerseits die Bedingung $\begin{eqnarray*} x_1^n + x_2^n + x_3^n = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllen UND als Summe bzw. mit einem beliebigen Skalar multipliziert wieder drei Werte ergeben, die die oben genannte Bedingung erfüllt.

11.11.2008, 18:21

Reksilat

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Also bezüglich Skalarmultiplikation ist die Menge $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ immer abgeschlossen, das ist nicht das Problem, aber mit der Addition kann es zu Problemen kommen, wie eben im Fall n=3.

Wie oben bereits erwähnt, ist für gerades n immer $\begin{eqnarray*} A_n={0} \end{eqnarray*}$ und für n=1 ist $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ ein zweidimensionaler Unterraum (was man leicht zeigen kann), diese Zahlen bilden also schonmal Lösungen.
n=3 wurde bereits ausgeschlossen und die Frage ist nun, was man mit den restlichen ungeraden Zahlen macht. Da diese Vorgehensweise sich nun aber nicht erheblich vom vorgenannten Fall unterscheidet, denke ich, dass Du damit die Aufgabe bereits lösen können solltest.

11.11.2008, 19:16

Rolfi

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Zitat:

Original von Reksilat
und die Frage ist nun, was man mit den restlichen ungeraden Zahlen macht. Da diese Vorgehensweise sich nun aber nicht erheblich vom vorgenannten Fall unterscheidet, denke ich, dass Du damit die Aufgabe bereits lösen können solltest.

Ergo: Lediglich mit den geraden Zahlen, mit denen man immer den Nullvektor erhält, erhalte ich den UVR:

$\begin{eqnarray*} M = (n | n = 2k, k \in \mathbb N ohne (0)) \end{eqnarray*}$

Die ungeraden Zahlen gehen ALLE nicht. So muss es jetzt aber richtig sein. Big Laugh

11.11.2008, 19:22

Reksilat

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Lesen!
Für n=1 erhältst Du wunderbar einen zweidimensionalen Unterraum!

11.11.2008, 20:04

Rolfi

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Zitat:

Original von Reksilat
Lesen!
Für n=1 erhältst Du wunderbar einen zweidimensionalen Unterraum!

Ok, ganz langsam. Für n = 1 erhalte ich ja $\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ als Bedingung. Das heißt, ich kann für zwei Variablen einsetzen, was ich möchte und die dritte Variable muss dann lediglich im Betrag übereinstimmen und ein gegenteiliges Vorzeichen bekommen. $\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 = -x_3 \end{eqnarray*}$ sozusagen. Also habe ich quasi $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Zwei Variablen sind ja immer beliebig wählbar. Für gerade n kriege ich immer den Nullvektor raus und für ungerade n gibt es keinen UVR. Dann ist die Antwort auf die Frage nach der Menge aller n doch aber in Worten: "n = 1 und alle geraden n". Bzw.: "Die Ebene und der Nullvektor im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

Gleich gibt's wieder was zu Meckern. traurig

11.11.2008, 23:12

Reksilat

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Du sollst nicht rumheulen, sondern lesen was ich geschrieben habe Big Laugh

(Den Fall n=1 habe ich nunmal kurz davor erwähnt)

Im Prinzip ist ja nun auch alles geklärt: alle geraden n und n=1 lassen auf Unterräume schließen, wobei im Fall n=1 nicht wirklich der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ rauskommt (der ja letztlich zu jedem zweidimensionalen UR über R isomorph ist), sondern ein Unterraum U des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen bleibt warum dies eine Unterraum ist, aber das geht schnell, denn wenn $\begin{eqnarray*} v=(x_1,y_1,z_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w=(x_2,y_2,z_2) \end{eqnarray*}$ in U liegen, sprich: $\begin{eqnarray*} x_i+y_i+z_i=0 \end{eqnarray*}$ , dann sieht man schnell, dass auch $\begin{eqnarray*} \lambda v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v+w \end{eqnarray*}$ in U liegen.

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