Kongruenz

10.11.2008, 23:23	regis	Auf diesen Beitrag antworten »
Kongruenz Hallo, ich habe ein Problem dabei, das folgende zu zeigen: $\begin{eqnarray} m \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ sei quadratfrei und $\begin{eqnarray} K=\mathbb{Q}(\sqrt{m}) \end{eqnarray}$ . Man zeige: $\begin{eqnarray} m \equiv 2 \mod 4 \quad \text{oder} \quad m \equiv 3 \mod 4 \Rightarrow \mathcal{O}_K = \{a+b \sqrt{m} \| a,b \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray}$ Wenn eine der Bedingungen erfüllt ist bedeutet das doch, dass die Nullstellen von Polynomen mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ alle die Form $\begin{eqnarray} a+b \sqrt{m} \end{eqnarray}$ besitzen, oder? Also ich weiss gar nicht, wie ich hier anfangen soll. Über Tipps würde ich mich sehr freuen.
11.11.2008, 18:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was bedeutet $\begin{eqnarray} \mathcal{O}_K \end{eqnarray}$ ? Vielleicht der Ring der ganzen algebraischen Zahlen in $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ?
11.11.2008, 19:59	regis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau. Ich dachte, die Notation wäre so üblich. Tut mir leid falls dem nicht so ist. Ich habe auch schon ein bischen herumgerechnet, aber ich komme nicht zum Ergebnis. Z.B. weiss man ja, dass die Norm und die Spur ganze Zahlen sind. Da die Spur eine ganze Zahl ist erhält man: $\begin{eqnarray} a+b \sqrt{m} = \frac{A}{2} +b \sqrt{m} \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} 2a = A \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Und wenn man das in die Norm einsetzt bekommt man: $\begin{eqnarray} \text{Norm } = a^2 + mb^2 = \frac{A^2}{4} + mb^2 \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Ich weiß aber nicht, was man hier nun weiterfolgern kann. Wenn das nicht ganz falsch ist wüsste ich wenigstens schonmal, warum man den Modus 4 betrachtet...

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