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25.08.2006, 18:00

juleds

Dgl

Hallo!
Könnt ihr mir bei dieser DGL helfen!!

y''=y'(y+1)+ $\begin{eqnarray*} \frac{(y')^2}{y+1} \end{eqnarray*}$

Hab versucht mit folgenden Anweisungen die Dgl zu lösen!
y'=p y''= $\begin{eqnarray*} \frac{dp}{dy} \end{eqnarray*}$

und hab erhalten $\begin{eqnarray*} \frac{dp}{dy} \end{eqnarray*}$ *p=p(y+1)+ $\begin{eqnarray*} \frac{p^2}{y+1} \end{eqnarray*}$

Aber dann komm ich einfach nicht weiter!!

25.08.2006, 18:57

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RE: Dgl

Zitat:

Original von juleds
y''= $\begin{eqnarray*} \frac{dp}{dy} \end{eqnarray*}$

Meinst du nicht eher $\begin{eqnarray*} y'' = \frac{\dd p}{\dd x} \end{eqnarray*}$ ? Falls ' nämlich wider Erwarten die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ statt nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bedeuten soll, dann wäre $\begin{eqnarray*} y'=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y''=0 \end{eqnarray*}$ , womit sich alles in Wohlgefallen auflöst...

P.S.: Schreib doch bitte zusammengehörige Formeln komplett in eine LaTeX-Umgebung, also so wie ich hier

code:
1:	[latex]y'' = \frac{\dd p}{\dd x}[/latex]

So eine zerstückelte Formel Text-LaTeX-Text-... sieht nämlich grauenhaft aus und ist ebenso grauenhaft lesbar.

25.08.2006, 20:53

juleds

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RE: Dgl
Ne das soll

$\begin{eqnarray*} \frac{dp}{dy}*p \end{eqnarray*}$ heißen

25.08.2006, 21:39

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Division durch $\begin{eqnarray*} (y+1) \end{eqnarray*}$ liefert

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{y''(y+1)-(y')^2}{(y+1)^2} = \left[ \frac{y'}{y+1} \right]' \end{eqnarray*}$ ,

dabei wurde rechts die Quotientenregel der Differentiation "rückwärts" genutzt.

Einmalige Integration liefert dann $\begin{eqnarray*} y = \frac{y'}{y+1} + C_1 \end{eqnarray*}$ mit Integrationskonstante $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ .

26.08.2006, 14:03

juleds

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Ok das habe ich soweit verstanden,aber unsere Aufgabe lautet...
Lösen Sie das AWP
$\begin{eqnarray*} y''=y'(y+1)+\frac{(y')^2}{y+1} \end{eqnarray*}$ y(0)=0 y'(0)=1

indem sie ein Awp y'=P(Y) herleiten

das heißt ich weiß nicht genau wie ich jetzt die Bedingungen da rein bringen soll!!!

26.08.2006, 14:45

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RE: Dgl
Da musst du wohl mal deine Brille putzen: Auf genau diese Form y'=P(Y) habe ich die Ursprüngliche DGL in meinem letzten Beitrag gebracht! Aus den beiden Anfangswerten y(0)=0, y'(0)=1 kannst du jetzt leicht die passende Integrationskonstante $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ ermitteln.

26.08.2006, 16:52

juleds

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RE: Dgl
Es ist mir klar,das das die Form ist....Das hab ich verstanden.
Ich weiß ja auch nur nicht wie die AWP Bedingungen dann weiter verarbeiten muss!!!!!

26.08.2006, 17:01

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Na $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ einsetzen: $\begin{eqnarray*} y(0) = \frac{y'(0)}{y(0)+1} + C_1 \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} y(0)=0,y'(0)=1 \end{eqnarray*}$ wird daraus $\begin{eqnarray*} 0 = \frac{1}{0+1} + C_1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} C_1=-1 \end{eqnarray*}$ .

Damit lautet das gesuchte AWP

$\begin{eqnarray*} y = \frac{y'}{y+1} -1,\qquad y(0)=0 \end{eqnarray*}$

(Die zweite Bedingung y'(0)=1 ist bereits "verarbeitet" und für dieses AWP ersten Grades redundant, muss also nicht mehr angegeben werden.)

War denn das so schwer, das Einsetzen?

26.08.2006, 17:23

juleds

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Hab heut glaub schon zu viel mathe gemacht,aber jetzt wo ich es seh ist es natürlich klar!!

War übrigens eine klausur Aufgabe,die so gut wie keiner lösen konnte smile

Kennst du noch mehrere von solchen DGL`s oder hast du einen Tipp ,wo man solche finden kann ,will dass nämlich mal ein bißchen üben!!

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