Potenzreihe

26.08.2006, 11:44

kingskid

Potenzreihe

hallo!
häng grad mal wieder an so ner potenzreihe:

y' = 2xy, y(0) = 1.

$\begin{eqnarray*} y'(x) = \sum_{n=0}^{\infty}~(n+1) a_{n+1}x^n \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} 2xy = 2x \sum_{n=0}^{\infty}~a_n x^n =2\sum_{n=1}^{\infty}~a_{n-1} x^n \end{eqnarray*}$

Koeff.vgl ergibt dann:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{2}{n+1} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ .

d.h. $\begin{eqnarray*} a_0 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1 = 2 a_0 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2 = a_1 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3 = 2/3 a_2 = 4/3 \end{eqnarray*}$
...

und dann hab ich die DGL noch nach "getrennten veränderl." gelöst.
da komm ich auf $\begin{eqnarray*} y = e^{x^2} \end{eqnarray*}$

mir ist nur nicht klar, wie man von diesen a_n's auf die lösung kommt?
ich seh die regelmäßigkeit noch nicht wirklich, man müsste doch dann auf die reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~ \frac{x^{2n}}{n!} \end{eqnarray*}$ kommen, oder??
viele grüße

26.08.2006, 13:11

navajo

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RE: Potenzreihe
Huhu!

Zitat:

Original von kingskid
Koeff.vgl ergibt dann:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{2}{n+1} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ .

d.h. $\begin{eqnarray*} a_0 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1 = 2 a_0 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2 = a_1 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3 = 2/3 a_2 = 4/3 \end{eqnarray*}$
...

Also deine Rekursionsgleichung für die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ stimmt imo schonmal. Und das $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ aus der Anfangsbedingung ist auch richtig, aber mit der Gleichung kommst du quasi nur immer 2 weiter, sprich aus $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ kannst du dir $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ ausrechnen, denn du hast ja nur ne Aussage von $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ .

Also:
$\begin{eqnarray*} a_0=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2=a_0=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_4=\frac{2}{4}a_2=1\cdot\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_6=\frac{2}{6}a_4=1\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
usw.
Da kann mans vll schon erkennen smile

Was man aber nu mit den ungeraden Koeffizienten anfängt weiß ich nu auch nicht, wär ja schön wenn die alle Null wären ^^
Da muss mir auch jemand auf die Sprünge helfen.

gruß
navajo

26.08.2006, 13:51

xrt

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Der Potenzreihenansatz für y ist:

$\begin{eqnarray*} y = \sum_{n=0}^\infty ~a_{n}x^{n} \end{eqnarray*}$

Und für y' ist er dann:

$\begin{eqnarray*} y' = \sum_{n=0}^\infty ~(n+1)a_{n+1}x^{n} \end{eqnarray*}$

Dann gilt er in der ganzen Dgl:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~2a_{n}x^{n+1}= \sum_{n=0}^\infty ~(n+1)a_{n+1}x^{n} \end{eqnarray*}$

Jetzt den Koeffizientenvergleich:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{2a_{n}}{n+1}x \end{eqnarray*}$

Und dann muss diese Summe gebildet werden:

$\begin{eqnarray*} a_{0} + \sum_{n=0}^\infty ~a_{n+1}x^{k} \end{eqnarray*}$

26.08.2006, 14:10

navajo

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Juhu, nu weiß ich was bei mir mit den ungeraden Koeffizienten passiert.

Weil die eine Summe erst ab $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ losläuft bekommt man für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} a_1=0 \end{eqnarray*}$ *freu*

26.08.2006, 14:23

xrt

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Hallo kingskid,

du schreibst ja immer Beiträge im Forum "Höhere Mathematik"

Wie heißt du eigentlich mit richtigen Namen?

Studierst du schon?

26.08.2006, 19:36

kingskid

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hi, danke für eure erklärungen! =)

@navajo: stimmt, das hab ich falsch ausgerechnet. von den geraden n's könnte man ja auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ kommen, aber wie macht man das mit den ungeraden weiter?

@xrt: warum steht bei dir beim Koeffizientenvgl das x noch mit dabei?
und wie kommst du dann auf diese summe zum schluss?

wie kommst du auf die idee?
wenn ich nicht schon studieren würde, hätte ich wohl nicht so viele fragen... oder noch mehr, who knows Augenzwinkern

27.08.2006, 01:24

navajo

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RE: Potenzreihe
Wenn du in die DGL einsetzt bekommst du ja:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~(n+1) a_{n+1}x^n=2\sum_{n=1}^{\infty}~a_{n-1} x^n \end{eqnarray*}$

Und das $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ bekommst du aus dem Koeffizientenvergleich für "x hoch Null" bzw fürs Konstante Glied. Rechts gibts das nämlich nicht, sondern nur links. Deswegen ist halt $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ Null.

Und wegen der Rekursionsvorschrift sind dann auch alle weiteren ungeraden Koeffizienten Null.

gruß
navajo

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