stetigkeit

26.08.2006, 12:10

kingskid

stetigkeit

Wenn ich diese Funktion auf stetigkeit in (0,0) untersuchen möchte:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) := \frac{xy^2}{x^2+x^4} \end{eqnarray*}$ (f(0,0) := 0)

ist es dann egal ob ich betrachte

$\begin{eqnarray*} f(n^2,n) = \frac{1}{2} \not= f(0,0) =0 \end{eqnarray*}$

oder $\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{n^2},\frac{1}{n})= \frac{1}{2} \not= f(0,0) =0 \end{eqnarray*}$

macht das ein unterschied mit welcher folge man die unstetigkeit zeigt?

26.08.2006, 12:28

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Du willst Unstetigkeit im Punkt (0,0) zeigen durch Angabe einer Beispielfolge $\begin{eqnarray*} (x_n,y_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} ~ (x_n,y_n) = (0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} ~ f(x_n,y_n) \neq f(0,0) \end{eqnarray*}$ .

Das Beispiel $\begin{eqnarray*} x_n=n^2,y_n=n \end{eqnarray*}$ ist dazu wohl kaum geeignet, denn da gilt nicht $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} ~ (x_n,y_n) = (0,0) \end{eqnarray*}$ , damit ist diese Argumentfolge für dein Anliegen unbrauchbar!!!

26.08.2006, 12:54

kingskid

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hmm, danke für die erklärung. aber warum muss ich n gegen unendlich gehen lassen und nicht gegen null?

wir haben in unsrem skript so ein ähnliches bsp.:

$\begin{eqnarray*} f(x,y):= \frac{xy}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ und f(0,0):= 0.

und dann steht weiter da: "f ist im Nullpunkt nicht stetig, denn es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0^+} f(t,t) = \frac{1}{2} \not= f(0,0). \end{eqnarray*}$ "

warum betrachtet man hier den limes t->0 und bei dem andren bsp n->unendlich??

26.08.2006, 13:11

therisen

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Zitat:

Original von kingskid
hmm, danke für die erklärung. aber warum muss ich n gegen unendlich gehen lassen und nicht gegen null?

Aua

Hier die eindimensionale Version: Eine Funktion f ist genau dann stetig im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , wenn für jede konvergente Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0) \end{eqnarray*}$
Siehe auch http://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_...n_of_continuity

Und jetzt eine Runde schämen...

Gruß, therisen

26.08.2006, 13:33

irre.flexiv

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Es ist doch völlig egal ob ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n->\infty} f(a_n,b_n) \not = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lim_{n->0^+}f(n,n) \not = 0 \end{eqnarray*}$ zeige.

$\begin{eqnarray*} (n,n) \end{eqnarray*}$ ist auf jeden Fall eine Nullfolge.

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0^+} f(t,t) = \frac{1}{2} \not= f(0,0) \end{eqnarray*}$ ist demnach richtig.

Und auch das Beispiel von oben. Du hattest nur vergessen $\begin{eqnarray*} \lim_{n->0^+} \end{eqnarray*}$ hinzuschreiben.

26.08.2006, 15:13

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Zitat:

Original von irre.flexiv
$\begin{eqnarray*} \lim_{n->0^+} \end{eqnarray*}$

Lass das bloß nicht den Dogmatiker hier sehen...

26.08.2006, 15:40

irre.flexiv

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Ich bin "nur" Informatiker Leopold hat bestimmt ein Einsehen.

Man lässt uns ja sogar solche Sachen wie x = x + 1 durchgehen. Big Laugh

26.08.2006, 16:30

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Ich sag's nochmal klar und deutlich: Das nachträgliche Hinzufügen von $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to +0} \end{eqnarray*}$ fällt bei mir unter die Kategorie "oberfaule Ausrede", insbesondere da klar von "Folgen" die Rede war. Eine Ausrede, die man etwa dann vorbringt, wenn man aus einer Klausurniederschrift, wo man so einen Mist verzapft hat, nachträglich noch ein paar Punkte schinden will. Augenzwinkern

26.08.2006, 19:28

kingskid

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danke für eure beiträge *lol*

@ Arthur Dent: leider hab ich die klausur noch vor mir, deshalb brauch ich grad noch keine ausreden... =)

@ irre.flexiv, thx, beruhigt mich ja smile

zählt (n,n) nur als nullfolge und nicht als folge?

und dann muss ich das auch nicht unbedingt mit der definition von therisen nachweisen, ich mein das bsp ist ja wie gesagt auch aus dem skript ...

26.08.2006, 19:41

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von kingskid
zählt (n,n) nur als nullfolge und nicht als folge?

Wenn du es als Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n=(n,n) \end{eqnarray*}$ auffasst, dann ist es ganz klar keine Nullfolge. Wenn du dazuschreibst, dass du $\begin{eqnarray*} n\searrow 0 \end{eqnarray*}$ gehen lässt, dann liegt an sich keine Nullfolge vor, sondern ein stetiger Grenzprozess.

Gruß MSS

26.08.2006, 20:06

irre.flexiv

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Auf jeden Fall kann man eine Nullfolge angeben, nur das ist für die Argumentation oben wichtig.
$\begin{eqnarray*} t \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ drückt in dem Sinne nur aus das die Nullfolge beliebig sein kann.

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