Annullierendes Polynom finden

11.11.2008, 17:04	gafland	Auf diesen Beitrag antworten »
Annullierendes Polynom finden Hallo, ich soll ein normiertes, quadratisches Polynom über $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ finden, sodass $\begin{eqnarray} a+b \sqrt{d} \in \mathcal{O}_K \end{eqnarray}$ eine Nullstelle desselben ist (mit d quadratfrei!). Dabei ist $\begin{eqnarray} \mathcal{O}_K \end{eqnarray}$ natürlich der Ganzheitsring und $\begin{eqnarray} K=\mathbb{Q}(\sqrt{d}) \end{eqnarray}$ . Nun ist bekannt, dass z.B. $\begin{eqnarray} (X-\alpha) (X- \overline{\alpha}) = 0 \end{eqnarray}$ für ein solches $\begin{eqnarray} \alpha := a + b \sqrt{d} \end{eqnarray}$ (dabei soll $\begin{eqnarray} \overline{\alpha} \end{eqnarray}$ die "Konjugation" beschreiben, also $\begin{eqnarray} \overline{a+b \sqrt{d}} = a-b \sqrt{d} \end{eqnarray}$ ) Aber da kommt jetzt ja $\begin{eqnarray} \sqrt{d} \end{eqnarray}$ in den Koeffizenten vor, also ist das Polynom gar nicht aus Z. Gibt es denn überhaupt ein Polynom über $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , welches so ein $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ annulliert?
11.11.2008, 17:12	gafland	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh Moment. $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathcal{O}_K \end{eqnarray}$ besagt ja gerade, dass das angegebene Polynom ganzahlige Koeffizienten hat. Bin ich dann schon fertig?
11.11.2008, 17:14	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Annullierendes Polynom finden Einfach ausmultiplizieren! Du wirst leicht sehen, dass $\begin{eqnarray} \alpha + \overline{\alpha} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha\cdot \overline{\alpha} \end{eqnarray}$ ganze Zahlen sind. Edit: $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathcal{O}_K \end{eqnarray}$ besagt nur, dass a und b ganze Zahlen sind.
11.11.2008, 17:27	gafland	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups. Ich hatte vorhin dummerweise erst eingesetzt und dann ausmultipliziert und die Wurzel blieb stehen. Wohl ein Rechenfehler

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