Kongruenz, Bestimmung m,n,k

11.11.2008, 21:16	lustigerlurch	Auf diesen Beitrag antworten »
Kongruenz, Bestimmung m,n,k Hallo, haben nun in der Vorlesung neu das Thema Kongruenz bekommen und habe gleich einen Aufgabe dazu. Leider ist mir nicht ganz klar, wie ich diese angehen soll, daher würde ich sie gerne mit euch versuchen zu lösen. Folgende Aufgabe: Bestimme die kleinsten Zahlen m,n,k mit $\begin{eqnarray} 7^m \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 11^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 13^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ 1 mod(1000)
11.11.2008, 22:07	Wissenscoder	Auf diesen Beitrag antworten »
hier mal etwas nebenbei, was allerdings nicht die andere Frage zurückstellen soll. Ich studiere VWL und kenne mod nicht. Habe dannach mal gegoogelt. Ist es korrekt das 1 mod 1000=-999,001 ist?
12.11.2008, 22:55	lustigerlurch	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab jetzt mit Hilfe von Mupad und durch probieren raus: 7^40 11^50 13^100 Alle besitzen den Rest 001 und somit die kleinste Zahl für m,n,k. Wenn es denn soweit stimmt. Wenn ich jetzt 1 mod(1000) habe, dann ist das doch sozusagen $\begin{eqnarray} 1/100 \end{eqnarray}$ und relevant ist hier bzw. dürfte hier ja nur der Rest sein. Teil ich dies nun kommt 0,001 raus. Nun frag ich mich ob das richtig ist und ob dies gelten könnte oder ob eben der Beitrag von Wissenscoder stimmt.
13.11.2008, 12:49	Wissenscoder	Auf diesen Beitrag antworten »
lass dich nicht durch mich verwirren, ich habe von dem thema keine ahnung. Wollte nur mal probieren^^
13.11.2008, 13:18	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar ist folgendes: $\begin{eqnarray} a^n\equiv 1\mod 1000 \end{eqnarray}$ ist äquivalent zur simultanen Kongruenz $\begin{eqnarray} a^n\equiv 1\mod 125,\;a^n\equiv 1\mod 8 \end{eqnarray}$ . Für zu 1000 teilerfremde $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist gemäß Satz von Euler-Fermat zu folgern, dass $\begin{eqnarray} a^{\varphi(125)} = a^{100}\equiv 1\mod 125 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} a^{\varphi(8)} = a^4\equiv 1\mod 8 \end{eqnarray}$ , insgesamt also $\begin{eqnarray} a^{100}\equiv 1\mod 1000 \end{eqnarray}$ gilt. Somit kann die Ordnung $\begin{eqnarray} O(a) \end{eqnarray}$ , also der kleinste positive Exponent mit $\begin{eqnarray} a^{O(a)} \equiv 1\mod 1000 \end{eqnarray}$ , nur ein Teiler von 100 sein. @lustigerlurch Was z.B. bedeutet, dass du mit dem $\begin{eqnarray} 7^{40} \end{eqnarray}$ nicht den kleinsten Exponenten gefunden hast, denn 40 ist ja kein Teiler von 100. Tatsächlich ist nämlich bereits $\begin{eqnarray} 7^{20}\equiv 1 \mod 1000 \end{eqnarray}$ .
15.11.2008, 22:16	lustigerlurch	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für deine Antwort. Ich hab es mittlerweile auch schon gemerkt, wie gesagt ich hatte mir einfach die Zahlen mit mupad ausgeben lassen und alles dann sozusagen nur durch "probieren" rausgefunden. Aber deine Antwort hilft mir auf jeden Fall weiter und macht mich wieder ein Stück schlauer, danke nochmal.
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