Gaußquadraturformel

11.11.2008, 21:21

Bjoern1982

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Gaußquadraturformel

Hallo,

eigentlich nur eine allgemeine, sehr kurze Frage:

Welche Orthogonalpolynome nimmt man günstigerweise für das Intervall [0,1] zur Konstruktion einer 2-stufigen Gauß-QF mit der Gewichtsfunktion $\begin{eqnarray*} \omega(t)=\frac{1}{\sqrt{t}} \end{eqnarray*}$ ?

Gruß Björn

11.11.2008, 23:23

tigerbine

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Eine etwas längerer Antwort
2 Stufen heißt 2 Knoten? Ihr habt doch auch eine Rekursionsfomel oder? Die Gewichtsfunktion bedingt doch die Polynome.... [WS] Numerische Integration -Theorie

Zitat:

Das Skalarprodukt

$\begin{eqnarray*} <f,g>:=\int_a^b~\gamma(x)\cdot f(x)\cdot g(x)~dx, \quad f,g \in C([a,b]) \end{eqnarray*}$

die Rekursionsformel

$\begin{eqnarray*} c_{n+1}\cdot q_{n+1} = (x-a_n)\cdot q_n - b_{n-1}\cdot q_{n-1} \qquad n \geq0,~q_{-1}=0,~q_0=1 \end{eqnarray*}$

mit:

$\begin{eqnarray*} h_n \text{ Höchstkoeffizient von }q_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_{n+1}=\frac{h_n}{h_{n+1}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{<xq_n,q_n>}{<q_n,q_n>} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_{n-1}=\frac{h_{n-1}<q_n,q_n>}{h_n<q_{n-1},q_{n-1}>} \end{eqnarray*}$

Schauen wir uns deine Vorgaben an:

$\begin{eqnarray*} \gamma(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [a,b]=[0,1] \end{eqnarray*}$

2x müßtest du das durchrechnen, um dann ein Polynom vom Grad 2 zu haben. Dessen Nullstellen sind die gesuchten Knoten.

12.11.2008, 11:38

tigerbine

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RE: Eine etwas längerer Antwort
Schritt 1:

$\begin{eqnarray*} c_{1}\cdot q_{1} = (x-a_0)\cdot q_0 - b_{-1}\cdot q_{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_{1}\cdot q_{1} = (x-a_0)\cdot 1 - b_{-1}\cdot 0 \end{eqnarray*}$

mit:

$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{<xq_0,q_0>}{<q_0,q_0>} = \frac{\int_0^1~\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot x\cdot 1\cdot 1 ~dx}{\int_0^1~\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot 1 \cdot 1~dx} = \frac{\int_0^1~\sqrt{x}~dx}{\int_0^1~\frac{1}{\sqrt{x}}~dx} = \frac{[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_0^1}{[2\sqrt{x}]_0^1} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_{1}\cdot q_{1} = (x-\frac{1}{3})\cdot 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q_1=x-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_1=1 \end{eqnarray*}$

Schritt 2:

$\begin{eqnarray*} c_{2}\cdot q_{2} = (x-a_1)\cdot q_1 - b_{0}\cdot q_{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_{2}\cdot q_{2} = (x-a_1)\cdot (x-\frac{1}{3}) - b_{0}\cdot 1 \end{eqnarray*}$

mit:

$\begin{eqnarray*} a_1=\frac{<xq_1,q_1>}{<q_1,q_1>} = \frac{\int_0^1~\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot x\cdot (x-\frac{1}{3})^2 ~dx}{\int_0^1~\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (x-\frac{1}{3})^2~dx} =\frac{\int_0^1~\sqrt{x}\cdot (x-\frac{1}{3})^2 ~dx}{\int_0^1~\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (x-\frac{1}{3})^2~dx} =\frac{11}{21} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_0=\frac{h_{0}<q_1,q_1>}{h_1<q_{0},q_{0}>} = \frac{1 \cdot \frac{8}{45}}{1\cdot 2} = \frac{4}{45} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_{2}\cdot q_{2} = (x-\frac{11}{21})\cdot (x-\frac{1}{3})-\frac{4}{45}\cdot 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q_2=x^2-\frac{6}{7}x+\frac{3}{35} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_2=1 \end{eqnarray*}$

12.11.2008, 13:59

Bjoern1982

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Du bist ein Schatz, ich habe gerade noch nach Tools gesucht, wo ich überprüfen kann, ob meine Polynome bzw Nullstellen stimmen.
Und in der Tat deckt es sich mit deiner Lösung smile

smile

Die Nullstellen von q2, also die gesuchten Knoten, sind aber leider sehr krumm.
Um dann auch auf die entsprechenden Gewichte zu kommen muss ich diese ja dann auch benutzen...
Was ist denn so üblich mit dem Runden (auf 2 Stellen nach dem Komma ?) oder würdest du mir trotzdem raten mit den exakten Wurzeltermen weiter zu rechnen ?

Ich erhalte

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{3}{7}+ \sqrt{\frac{24}{245}} \approx\ 0,7416 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{3}{7}- \sqrt{\frac{24}{245}} \approx\ 0,1156 \end{eqnarray*}$

Die passenden Gewichte, ich nenne sie y1 und y2 wegen deiner schon vergebenen Variable b, errechne ich dann durch

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}~dx= \sum_{i=1}^2~y_if(x_i) \end{eqnarray*}$

Es folgen bei mir die beiden Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} y_1+y_2=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1y_1+x_2y_2=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Ist das so in Ordnung ?

12.11.2008, 14:13

tigerbine

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Du bist ein Schatz, ich habe gerade noch nach Tools gesucht, wo ich überprüfen kann, ob meine Polynome bzw Nullstellen stimmen.
Und in der Tat deckt es sich mit deiner Lösung smile

smile

Was sind denn das für tools?

Zitat:

Die Nullstellen von q2, also die gesuchten Knoten, sind aber leider sehr krumm.
Um dann auch auf die entsprechenden Gewichte zu kommen muss ich diese ja dann auch benutzen...
Was ist denn so üblich mit dem Runden (auf 2 Stellen nach dem Komma ?) oder würdest du mir trotzdem raten mit den exakten Wurzeltermen weiter zu rechnen ?

Da wir den exakten Term kennen, würde ich den auch benutzen. Zumindest um die Formel zu notieren.

Zitat:

Ich erhalte

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{3}{7}+ \sqrt{\frac{24}{245}} \approx\ 0,7416 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{3}{7}- \sqrt{\frac{24}{245}} \approx\ 0,1156 \end{eqnarray*}$

abc-Formel traue ich dir zu. wird wohl stimmen Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Die passenden Gewichte, ich nenne sie y1 und y2 wegen deiner schon vergebenen Variable b, errechne ich dann durch

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}~dx= \sum_{i=1}^2~y_if(x_i) \end{eqnarray*}$

Jeder wie er es mag. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du solltest nur dazu schreiben, woraus diese Gleichungen folgen. Also Exaktheit für Monombasis-Polynome, oder?

Zitat:

Es folgen bei mir die beiden Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} x_1+y_2=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1y_1+x_2y_2=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Ist das so in Ordnung ?

Dann erhalte ich nämlich was anderes.

$\begin{eqnarray*} y_1 \cdot (x_1)^0 + y_2 \cdot (x_2)^0 = \int_0^1~\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot 1 ~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1 \cdot (x_1)^1 + y_2 \cdot (x_2)^1 = \int_0^1~\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot x ~dx \end{eqnarray*}$

12.11.2008, 14:18

Bjoern1982

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Zitat:

Dann erhalte ich nämlich was anderes.

War ein Abschreibfehler, Statt x1 natürlich y1 in der 1. Gleichung Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Was sind denn das für tools?

Naja, da das alles ja immer alles nach einem gewissen Schema mit gegebenen Intervall und gegebener Gewichtsfunktion und Anzahl der Knoten abläuft wird sich ja bestimmt irgendjemand mal die Mühe gemacht haben dass durch Java,Javascript oder sonstwas zu simulieren =)

Wenn ich mal mehr Zeit habe werde ich das mal in Matlab versuchen glaube ich.

Zitat:

Du solltest nur dazu schreiben, woraus diese Gleichungen folgen. Also Exaktheit für Monombasis-Polynome, oder?

Genau das meinte ich - und hätte es auch dazu schreiben können (sollen) . Augenzwinkern

Augenzwinkern

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12.11.2008, 14:21

tigerbine

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Jo, dann löse mal das LGS. Du weiß ja auch, welches Polynom als letztes noch exakt integriert wird, damit würde ich dann die Probe machen.

12.11.2008, 14:46

Bjoern1982

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Ok, dann erhalte ich

$\begin{eqnarray*} y_2=\frac{\frac{2}{3}-2x_1}{x_2-x_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1=2-\frac{\frac{2}{3}-2x_1}{x_2-x_1} \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} y_1 \approx\ 0,69570969 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2 \approx\ 1,30429031 \end{eqnarray*}$

Und die Probe mit Monom f(x)=x³ klappt auch smile

smile

12.11.2008, 14:48

tigerbine

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Und was sagt die Probe?

12.11.2008, 14:53

Bjoern1982

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Hatte es oben noch editiert.
Du warst zu schnell Augenzwinkern

Augenzwinkern

bzw ich zu langsam, aber ich habe im Moment krasse Ladezeiten geschockt

geschockt

12.11.2008, 14:54

tigerbine

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Bei mir geht es heute, mit dem laden. Aber wir arbeiten dran.

Schön, wenn die Probe passt.

OT: Habt ihr den alten Zettel schon korrigiert?

12.11.2008, 15:05

Bjoern1982

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Der alte Zettel wurde schon besprochen, jedoch hat ihn der Professor selbst vorgerechnet, was er jetzt auch IMMER machen wird - nur habe ich das leider wohl nicht mitbekommen bzw erst zu spät unglücklich

unglücklich

Aber ich werde die Lösung noch von jemandem abschreiben, der mitgeschrieben hat smile

smile

Morgen nach der Vorlesung, also immer donnerstags, wird das nächste (also das jetzige Blatt) vorgerechnet.

12.11.2008, 15:07

tigerbine

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Ok, wäre super, wenn du dann in den Threads ergänzt, ob wir den Geschmack des Profs getroffen haben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.11.2008, 15:15

Bjoern1982

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"Wir" ist gut, bei einer Fussballmannschaft sagt der Trainer ja auch immer "Wir haben heute schlecht gespielt" - hier im Numerikforum muss man aber ohne irgendwelche Anspielungen sagen, dass hier ausschließlich DU von den Mods antwortest oder sehe ich das falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zum 1. Übungsblatt werde ich sehr gerne jetzt direkt nochmal was schreiben im passenden Thread bzgl

Zitat:

ob wir den Geschmack des Profs getroffen haben

12.11.2008, 18:17

tigerbine

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Danke für das Feedback. Ich habe gerade nochmal die Knoten und Gewichte mit Golub Welsch ausgerechnet (schon eklig mit diesen Wurzeln und nicht mehr wirklich schön von Hand - maple sei Dank). Ich komme auf die gleichen Ergebnisse.

Nun warten wir mal, was dein Prof raus hat. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.11.2008, 18:54

Bjoern1982

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Und nochmal hallo Wink

Wink

bei dieser Aufgabe hat sich der Professor eng an das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren gehalten und nicht direkt die in einem Satz erwähnte - im Groben auch mit deiner Rekursionsformel übereinstimmende - Rekursion gehalten und hat dann immer wild normiert und meinte das wäre so eleganter - kann ich aber auch nicht bestätigen, denn ich habe mit unserer Variante deutlich weniger Integrale berechnen müssen und auch vom AUfwand nimmt sich das nicht viel.

In jedem Fall kam er auch auf dieselben Ergebnisse, also auch sichere Punkte würde ich meinen Freude

Freude

Thank you so much smile

smile

13.11.2008, 18:57

tigerbine

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Gauß-Quadratur

Das muss jeder selber wissen, aber die Rekursionsformeln basieren ja im Grunde auf dem SOV. Und da ich die bei Euch gesehen hatte, also warum dann wieder "zu Fuß" gehen. Big Laugh

Big Laugh

Normieren ist immer mal drin, das hat ja keinen Einfluss auf die Orthogonalität.

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