Überabzählbar

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Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »
Überabzählbar
Hallo,

Beweisen Sie, dass die Mengen und gleichmächtig sind.

Ich brauche ein paar Ansätze oder Ideen.

p.s. Ich gehe davon aus, dass reelle Intervalle sind. (Die Aufgabe oben wurde wortwörtlich übernommen)
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überabzählbar
Betrachte

mit folgender Relation:

Jetzt denke einmal über das Zorn'sche Lemma und evtl. Eigenschaften des max. Elementes nach.

Grüße Abakus smile
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überabzählbar
Ich bin mir nicht sicher ob das mit Zorn hier funktioniert, denn wie willst Du gewährleisten, dass Du als maximale Elemente auch Funktionen mit überabzählbar großem Definitionsbereich erhältst?

Ich denke, dass Du man sich eher auf die Dezimaldarstellung konzentrieren sollte, damit bekommt man recht gut eine injektive Abbildung
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überabzählbar
Zitat:
Original von Reksilat
Ich bin mir nicht sicher ob das mit Zorn hier funktioniert, denn wie willst Du gewährleisten, dass Du als maximale Elemente auch Funktionen mit überabzählbar großem Definitionsbereich erhältst?


Das lässt sich nicht gewährleisten. Dieser Fall lässt sich jedoch durch Iteration des Verfahrens zum Widerspruch führen.


Zitat:
Ich denke, dass Du man sich eher auf die Dezimaldarstellung konzentrieren sollte, damit bekommt man recht gut eine injektive Abbildung


Eine interessante Idee, ja.

Grüße Abakus smile
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überabzählbar
@Abakus:

Schöne Idee, aber das zornsche Lemma wurde noch nicht eingeführt.

Mein bisheriger Ansatz lautet wie folgt:

Sei für fest.

Die sind offensichtlich bijektiv, d.h.



Im letzten Schritt wird verwendet, dass die Vereinigung überabzählbar vieler überabzählbarer Mengen wieder überabzählbar ist, also die Mächtigkeit besitzt.
Die Sache ist aber die, das wir ähnliches bisher nur für abzählbare Mengen gezeigt haben (Cantor).
Ich denke, dass das Argument schon gilt, nur weiß ich nicht, wie ich es begründen kann.
Jemand von euch vielleicht.

@Reksilat:

Kannst du das näher ausführen?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überabzählbar
Ich bilde das Paar , mit und (Dezimalschreibweise)
auf ab.

Ist nur nicht surjektiv, da z.B 0,9090909... kein Urbild hat.


Zu Deinem Ansatz: Du kannst dann auch genauso

schreiben, aber das bringt Dich nicht weiter.

"dass die Vereinigung überabzählbar vieler überabzählbarer Mengen wieder überabzählbar ist"
ist ja letztlich genau das was Du zeigen musst, aber das Argument der abzählbaren Mengen schlägt hier komplett fehl.

Das Problem ist, dass alle abzählbaren Mengen gleich mächtig sind, aber bei den überabzählbaren gibt es eben unterschiedliche Mächtigkeiten und man muss dann halt mit einer Bijektion zwischen den Mengen argumentieren.
( und haben unterschiedliche Mächtigkeit, sind aber beide überabzählbar)
 
 
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überabzählbar
Zitat:
Original von Reksilat
Zu Deinem Ansatz: Du kannst dann auch genauso

schreiben, aber das bringt Dich nicht weiter.

"dass die Vereinigung überabzählbar vieler überabzählbarer Mengen wieder überabzählbar ist"
ist ja letztlich genau das was Du zeigen musst, aber das Argument der abzählbaren Mengen schlägt hier komplett fehl.

Das Problem ist, dass alle abzählbaren Mengen gleich mächtig sind, aber bei den überabzählbaren gibt es eben unterschiedliche Mächtigkeiten und man muss dann halt mit einer Bijektion zwischen den Mengen argumentieren.
( und haben unterschiedliche Mächtigkeit, sind aber beide überabzählbar)


Mit überabzählbar meinte ich die Mächtigkeit .

Vielleicht etwas unkonkret ausgedrückt.

Mit ist schon klar, dass es eine unendliche Hirarchie von Unendlich gibt.

Was ich konkret wissen will, ob es eine Verallgemeinerung der Form:

Die Vereinigung vieler Mengen ist wieder

gibt.

p.s.

Danke, das Beispiel genügt mir bereits, denn nun kann ich das Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem anwenden.
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