Topologie Zusammenhang und Komponenten

12.11.2008, 14:26

PeteYaw

Topologie Zusammenhang und Komponenten

1. Aus wie vielen Komponenten kann eine in $\begin{eqnarray*} ~\mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ offene Teilmenge maximal bestehen? Mit Begründung.

2. Es seien X und Y zusammenhängende Räume und A $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ X sowie B $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ Y echte Teilmengen. Zeige:

(X x Y) \ (A x B) ist zusammenhängend.

zu 1.: Entweder steh ich total auf dem Schlauch aber das müssten doch unendlich viele sein können oder nicht? Ich meine ich kann mir doch schon in $\begin{eqnarray*} ~\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine offene Menge basteln, die bspw. aus den Intervallen (1,2) $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ (3,4) $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ ... besteht. Dann wäre jedes Intervall (n,n+1) eine eigene Komponente. Vielleicht hab ich aber auch die Definition nicht richtig verstanden.

zu 2.: Hier stellen sich mir folgende Fragen: Ist (X x Y) \ (A x B) dasselbe wie (X\A) x (Y\B), denn wenn ja dann würde es ja genügen zu zeigen, dass X\A zusammenhängend ist, da Y\B analog folgen würde und ein Kreuzprodukt bekanntermaßen zusammenhängend ist, wenn die einzelnen Faktoren zusammenhängend sind.

Vielen Dank schonmal

12.11.2008, 16:46

PeteYaw

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RE: Topologie Zusammenhang und Komponenten
Aufgabe 1 hab ich bereits selber gelöst (hoffentlich richtig).

Bei Aufgabe 2 steh ich immernoch auf dem Schlauch. Wenn die Gleichheit der Mengen gilt, kann ich die Aufgabe problemlos lösen. Wenn nicht, hab ich keinerlei Idee wie ich da rangehen soll.

12.11.2008, 17:56

Abakus

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RE: Topologie Zusammenhang und Komponenten

Zitat:

Original von PeteYaw
Aufgabe 1 hab ich bereits selber gelöst (hoffentlich richtig).

Abzählbar unendlich viele oder überabzählbar viele?

Zitat:

Bei Aufgabe 2 steh ich immernoch auf dem Schlauch. Wenn die Gleichheit der Mengen gilt, kann ich die Aufgabe problemlos lösen. Wenn nicht, hab ich keinerlei Idee wie ich da rangehen soll.

Was wäre die Definition von Zusammenhang? Wenn du damit ansetzen würdest?

Grüße Abakus smile

13.11.2008, 00:43

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von PeteYaw
zu 2.: Hier stellen sich mir folgende Fragen: Ist (X x Y) \ (A x B) dasselbe wie (X\A) x (Y\B)

Nein. Betrachte $\begin{eqnarray*} X=Y=[0,2] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A=B=[0,1] \end{eqnarray*}$ . Dann ist bei $\begin{eqnarray*} (X\times Y)\setminus (A\times B) \end{eqnarray*}$ aus dem Quadrat der Seitenlänge zwei nur das Viertelquadrat links unten rausgeschnitten. $\begin{eqnarray*} (X\setminus A)\times (Y\setminus B) \end{eqnarray*}$ stellt aber nur das rechte obere Viertelquadrat dar. Also sind die Mengen sicher nicht gleich.

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