Permutationen

12.11.2008, 19:35

Spiggie

Permutationen

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe, bei der ich nicht genau weiß, was die Lösung ist und hoffe nun, dass ihr mir helfen könnt. Big Laugh

Die Buchstaben des Wortes MISSISSIPPI werden rein zufällig permutiert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine "S" nebeneinander stehen?

Meine Lösung sieht jetzt wie folgt aus:
Wenn man zwei nebeneinanderstehende S als einen Buchstaben betrachtet, gibt es ja 10! Möglichkeiten, die Buchstaben anzuordnen und es sind immer zwei S nebeneinander. Das dann noch mit 2 multiplizieren, da man die S ja auch vertauschen kann, da sie ja unterscheidbar sind. Somit folgt dann: $\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{10!\cdot2}{11!}=\frac{2}{11} \end{eqnarray*}$ . Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass mind. zwei S nebeneinander stehen. Demnach wäre das Komplement ja, dass keine S nebeneinander stehen und die Wahrscheinlichkeit davon dann ja $\begin{eqnarray*} P(A^c)=1-P(A)=1-\frac{2}{11}=\frac{9}{11} \end{eqnarray*}$ .
Kann das stimmen oder ist irgendwo da drin ein Denkfehler?

13.11.2008, 08:43

Dual Space

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RE: Permutationen

Zitat:

Original von Spiggie
Wenn man zwei nebeneinanderstehende S als einen Buchstaben betrachtet, gibt es ja 10! Möglichkeiten, die Buchstaben anzuordnen und es sind immer zwei S nebeneinander.

Wie kommst du darauf? Wenn ich mal X=SS setze, dann hat MIXIXIPPI nur 9 Buchstaben, hat also 9! Anagramme.

13.11.2008, 11:22

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@Spiggie

Mit den 9/11 liegst du aber meilenweit daneben. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von keinerlei S-Nachbarn ist

$\begin{eqnarray*} P(A^c) = \frac{8!\cdot 7!}{11!\cdot 4!} = \frac{7}{33} \end{eqnarray*}$ .

Dreh- und Angelpunkt ist die Bestimmung der Anzahl der Positionsmöglichkeiten für die vier S auf den Buchstabenpositionen 1 bis 11, so dass diese "verbotene" Nachbarschaft berücksichtigt wird.

13.11.2008, 14:33

Spiggie

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danke für eure Antworten schon mal... ^^

@ Dual Space
Könnte ich das nicht so machen, dass ich einfach ein Paar S zusammenlasse und das andere wie irgendeinen beliebigen Buchstaben behandle? Oder kann ich die S nur komplett betrachten sozusagen?

@ Arthur Dent
Könntest du mir erklären, wie du darauf kommst oder mir zumindest einen kleinen Denkanstoss geben?

13.11.2008, 15:22

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Es geht erstmal nur um die Positionen der vier $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ . So ist z.B. $\begin{eqnarray*} (1,3,6,10) \end{eqnarray*}$ ein gültiges Tupel, $\begin{eqnarray*} (2,5,8,9) \end{eqnarray*}$ aber nicht, da 8,9 benachbart sind. Wie kann man also beschreiben, dass ein Tupel $\begin{eqnarray*} (k_1,k_2,k_3,k_4) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\leq k_1 < k_2 < k_3 < k_4 \leq 11 \end{eqnarray*}$ keine Nachbarn enthält? Indem immer mindestens Abstand 2 zwischen den Tupelelementen herrscht, d.h., es gilt sogar $\begin{eqnarray*} 1\leq k_1 < k_2-1 < k_3-2 < k_4-3 \leq 11-3 = 8 \end{eqnarray*}$ .

Das wiederum kann über die Transformation $\begin{eqnarray*} j_r = k_r - r + 1 \end{eqnarray*}$ in "normale" aufsteigende Tupel $\begin{eqnarray*} 1\leq j_1 < j_2 < j_3 < j_4 \leq 8 \end{eqnarray*}$ ohne zusätzliche Nebenbedingungen überführt werden, und deren Anzahl ist bekanntlich $\begin{eqnarray*} \binom{8}{4} \end{eqnarray*}$ .

13.11.2008, 20:34

Spiggie

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herzlichsten Dank, habs verstanden Augenzwinkern

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