Rotationskörper-volumenberechnung

12.11.2008, 20:15	SatzMitX	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationskörper-volumenberechnung Moin Moin! Erneut habe ich mich an einer simplen Pille-Palle Aufgabe festgebissen und habe zunächst dazu zwei Fragen. Diese Fragen stelle ich im Anschluß an die Aufgabenstellung. Im folgenden erst einmal die Aufgabenstellung an sich. " $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{1}{2} \sqrt{25-x^{2}} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente mit dem Berührpunkt $\begin{eqnarray} P(3\|f(3)) \end{eqnarray}$ an den Graphen von f. Durch Rotation des Graphen von f und der Tangente um die x-Achse entsteht ein stromlinienförmiger Körper. Berechnen Sie sein Volumen. " Als Tangentengleichung habe ich $\begin{eqnarray} t(x)=-\frac{3}{8}x+\frac{35}{8} \end{eqnarray}$ erhalten. Die allgemeine Formel zur Volumenbestimmung eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse ist $\begin{eqnarray} V=\pi\int_{a}^{b}~(f(x))^{2}~dx \end{eqnarray}$ . Meine erste Frage zu der Aufgabe ist, ob es reicht einfach nur mit der Differenzfunkion von f und t zu rechnen. Meine zweite Frage schließlich, handelt davon, ob es richtig ist von -5 bis +5 zu integrieren um das Volumen zu bestimmen. $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ Dank im voraus, meine Freunde und Helfer.
13.11.2008, 00:47	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie man sieht, stimmt da schon etwas nicht. Wenn die Grenzen gemeinsam sind, dann kann die Differenz der Quadrate (nicht das Quadrat der Differenz!) der beiden Funktionen integriert werden. Die Grenzen richten sich nach den Abmessungen des zu berechnenden Rotationsvolumens. Jetzt musst mal die Tangente richtig berechnen. mY+
17.11.2008, 01:32	SatzMitX	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Lösungsformel zu der Aufgabe habe ich die folgende aufgestellt: $\begin{eqnarray} V=\pi( \int_{0}^{3}~(f(x))²~dx+\int_{3}^{\frac{25}{3}}~(t(x))²~dx) \end{eqnarray}$ Und als Endergebnis für das gesuchte Volumen erhalte ich $\begin{eqnarray} V=\frac{425}{18}\pi=ca. 74.176 \end{eqnarray}$ Nun würde ich gerne dazu wissen, ob ich die Lösungsformel richtig habe und ob auch mein Endergebnis korrekt ist.
17.11.2008, 08:52	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zunächstmal solltest du die richtige Tangente nehmen. Siehe Hinweis von mYthos. Dann mußt du das Rotationsvolumen der Funktion f(x) vom Rotationsvolumen der Tangente abziehen. Und drittens ist die Frage, über welchem Abschnitt der x-Achse der gesuchte Rotationskörper um die x-Achse rotiert. Ich hätte da das Intervall von x=3 bis zum Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse genommen.
17.11.2008, 15:52	SatzMitX	Auf diesen Beitrag antworten »
@Klarsoweit Nach Bestimmung der richtigen Tangentengleichung sieht die Zeichnung folgendermaßen aus: Und wenn man sich das Bild anschaut, dann fällt doch auf, dass man auf jeden Fall meine aufgestellte Lösungsformel benutzen kann, um die Aufgabe zu lösen. Oder siehst du das anders? Wenn ja, dann würde ich auch gerne wissen, wieso du das anders siehst.
17.11.2008, 16:06	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist eben die Frage, welchen Rotationskörper man betrachtet. Ob der innen hohl ist oder nicht oder was auch immer. Ich kann mich auch mit deiner Lösung anfreunden.
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