Vektorräume

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12.11.2008, 21:15	LabrigerToast	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorräume Hallo, ich soll die folgende Menge darauf kontrollieren, ob sie ein Untervektorraum ist von R hoch 4: $\begin{eqnarray} V = \{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \in \mathbb R ^4 \|x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 [und] x_2^2 + x_3 = 0 \} \end{eqnarray}$ Der erste Punkt wäre der Nullvektor. Man kann in beide Gleichungen (0,0,0,0) einsetzen und erzählt eine wahre Aussage. Nun soll man ja zeigen, dass man bei der Differenz und der Skalarmultiplikation zweier Elemente wieder im Vektorraum liegt. Und das habe ich nicht ganz verstanden, wie man das zeigen soll. Man könnte ja x1 und x2 addieren, da wüsste ich nicht, warum es nicht in R hoch 4 liegen sollte und wie man das beweisen kann.
12.11.2008, 22:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorräume 1. Strom anschalten und ab in den Toaster. 2. Nimm an, dass zwei vektoren drin liegen. Liegt dann auch deren Summe drin? 3. Nimm an, dass ein Vektor drin liegt. Liegt dann auch ein Vielfaches drin? Es gelte: $\begin{eqnarray} x \in V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1+x_2+x_3+x_4=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2^2+x_3=0 \end{eqnarray}$ Nun schauen wir mal. $\begin{eqnarray} \lambda x_1+\lambda x_2+\lambda x_3+ \lambda x_4= \lambda (x_1+x_2+x_3+x_4)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\lambda x_2)^2+\lambda x_3= \lambda (\lambda x_2^2 + x_3) = ? \end{eqnarray}$ Kann man da vielleicht ein Gegenbeispiel konstruieren?
12.11.2008, 22:37	Labriger Toast	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, ich glaube und hoffe, dass ich das langsam verstehe. Wenigstens im Ansatz vielleicht. Also du hast den ersten Teil auf die Summe getestet und da können alle Elemente nach dem Rechnen auch wieder eingesetzt werden und die Gleichung ist trotzdem eine wahre Aussage. Also beim zweiten Teil kann 0 auf jeden Fall eingesetzt werden für Lambda, aber es scheint ja eine Einschränkung durch das Quadrat zu geben. Nimmt man für x3 eine positive Zahl, so kann man sie nicht mehr auf 0 bringen. Ist das an irgendeiner Stelle richtig gedacht?
12.11.2008, 22:47	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
2. hab ich nur den Ansatz formuliert, nichts beweisen 3. Ja, es muss schon für alle lambda gelten. Also wähle lambda ungeleich 0 und suche ein x dass in V liegt, zeige das lambda v nicht in V liegt, dann bist du fertig. Kein Vektorraum
12.11.2008, 23:06	Labriger Toast	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde es gerade wirklich sehr genial von dir, dass du mir so schön weitergeholfen hast, aber ich will dich noch ein letztes Mal nerven. 1. Wenn ich einen Punkt als Gegenbeispiel nehme für Lambda, ist die Sache mit der Skalarmultiplikation komplett wirderlegt, ja? 2. $\begin{eqnarray} V = \{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \in \mathbb R ^4 \|x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 [und] x_2 + \pi x_3 = 0 \} \end{eqnarray}$ Also wäre das nach den 3 Punkte ein Untervektorraum? Und wie könnte man dann beweisen, dass Skalarmultiplikation und Addition geht?
12.11.2008, 23:24	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Finde das Beilspiel, dann ist V kein VR, da wir mindestens bei der Skalarmultiplikation scheitern 2. Das ist nun aber eine andere Aufgabe, oder?
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12.11.2008, 23:28	Labriger Toast	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist eine andere Aufgabe. Ich hoffe, das ist jetzt nicht schlimm. Ich wollte nur zur Kontrolle wissen, ob das jetzt stimmt, dass das ein Vektorraum ist. Auf jeden Fall vielen Dank. Du bist toll.
12.11.2008, 23:32	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
du hast ja gar nicht gezeigt (zumindest hier nicht), ob die Bedingungen für einen VR erfüllt sind. Wie soll ich dann da etwas zu sagen?
13.11.2008, 14:09	Labriger Toast	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, tut mir leid. Ich weiß eben nicht ganz, wie ich die Beweise der einzelnen Punkte aufschreiben soll. Bei dem Nullvektor ist es klar, da setzt man die x = 0. Aber wenn ich dann beispielsweise x1 + y1 nehme, dann habe ich ja nur x1 + y1 und bei den anderen Punkten auch. Wie beweise ich das dann für alle Zahlen?
13.11.2008, 18:23	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie ich es schon einmal vorgemacht hatte. Nimm an x,y liegen drinnen. Liegt dann auch z:=x+y drinnen (also erfüllt die Bedingungen).

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