Extremwertaufgabe

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Juliane83 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe
Hallo Leute, ich habe mal wieder ein problem mit Mathe.

Vielleicht könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen. ich habe nämlich überhaupt keinen Plan was ich hier tun muss.

Würde mich über eine Erklärung sehr freuen.

Hier erste mal die Aufgabe, um die es geht:

In einem Rotationskegel vom radius r und der Höhe h soll ein Zylinder von größtmöglichem Volumen einbeschrieben werden.
Berechnen sie auch das Volumen des entstehenden Zylinders und geben sie an, welchen Bruchteil des Kegelvolumens es ausmacht?

Achtung: Zum Aufstellen der Nebenbedingung benutzen sie bitte einen der Strahlensätze.

So, das wäre die Aufgabe.
Ich hoffe auf eure Unterstützung und Hilfe.

Vielen Dank Juliane
xrt-Physik Auf diesen Beitrag antworten »

Den Kegel betrachte ich als ein Dreieck.

Hier verhält sich der Radius des Kegels zur Kegelhöhe genauso
wie der Radius des Zylinders zur Zylinderhöhe.

rK: Kegelradius ; hK: Kegelhöhe
rZ: Zylinderradius ; hZ: Zylinderhöhe



Hauptbedingung ist:



Da Kegelradius und Kegelhöhe schon gegeben sind, stellt man die
Nebenbedingung (Strahlensatz) nach hZ um und setzt hZ in die
Hauptbedingung ein. Ableiten, nullsetzen und Auflösen ergibt den
Zylinderradius. Dann diesen nochmals in die Nebenbedingung (Strahlensatz) rZ einsetzen und somit hZ ermitteln; das ganze in
die Hauptbedingung eingesetzt ergibt das größtmögliche Volumen!
Juliane83 Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort
Hallo noch mal, vielen dank für deine Hilfe. Ich habe mich da mal dran gesetzt. Hier mal meine Rechnungen. Falls da was falsch ist, bitte ich um Korrektur und Erklärung. Vielen Dank. Gruß Juliane

Nebenbedingung : rK/hK = rZ/ hZ

Hauptbedingung: Vz = pi (rz)² * hz


nebenbedinugn nach hz auflösen:

hz = hk *rz /rk

hz in Hauptbedinung einsetzen:

Vz = pi (rz)² * hk * rz/rk

Bis hier hin denke ich hab ichs richtig, aber ab hier stimmt bestimmt was nicht.

v'z = 2pi * rz
Null setzen

2pi * rz /V'z =0

nach rz auflösen

rz = v'z/2pi ----> Zylinderradius

Einsetzen in Nebenbedinung ergibt

rk/hk = V'z/2pi/hz

nach hz auflösen:

hz= V'z * hk/ 2pi * rk

Einsetzen in Hauptbedingung

Vz = pi * (rz)² * V'z*hk/2pi * rk

So und nun bitte ich um Korrektur, denn ich denke ich habe hier einen Denkfehler..

Vielen Dank

Juliane
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von xrt-Physik
Hier verhält sich der Radius des Kegels zur Kegelhöhe genauso
wie der Radius des Zylinders zur Zylinderhöhe.

Leider falsch. unglücklich
Richtig wäre:


Jetzt darf Juliane die ganze Rechnung nochmal machen. geschockt
Juliane83 Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort
Hallo noch mal, kurze Frage noch mal.

Ab wo ist meine Rechnung falsch?

Gruß Juliane
co0kie Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Rechnung ist ab der Stelle falsch, an der du die Nebenbedingung nach hz aufgelöst hast.

Edit: Sie ist eigentlich schon beim Aufstellen der Nebenbedingung falsch. Siehe dazu den Post über dir!!
 
 
Juliane83 Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort
Wenn die nebenbedinung schon falsch ist, wie lautet denn dann die richtige Nebenbedingung?

Gruß Juliane
co0kie Auf diesen Beitrag antworten »

Hat klarsoweit doch geschrieben! Deshalb habe ich ja auch den Post über dir verwiesen Augenzwinkern
Juliane83 Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort
ok, dann weiß ich jetzt bescheid.

ich werd mal ein wenig rechnen, wenn ich fertig bin hier, dann schreib ich es noch mal hier rein.

danke schon mal.

gruß juliane
Juliane83 Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort
Also bevor ich jetzt wieder Bockmist fabriziere, hier mal meine anfänge


Also

Nebenbedingung: rk/hk = rz/ hk-hz

Hauptbedingung: Vz = pi * (rz)² * hz

Nebenbedingung nach hz auflösen

=> hz= - hk * rz/ rk + hk

Dann hz in Hauptbedingung einsetzen

Vz = pi * (rz)² * (-hk * rz/rk) + hk

So was muss ich jetzt machen?

Vielleicht ist ja diese rechnung auf wieder fürn arsch?

Hmm :?

Bitte nochmals um Hilfe.

Danke Juliane
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Antwort
Zitat:
Original von Juliane83
Nebenbedingung nach hz auflösen

Leichter wäre es, diese nach rz aufzulösen. Ist aber Geschmackssache.

Zitat:
Original von Juliane83
Vz = pi * (rz)² * (-hk * rz/rk) + hk

So was muss ich jetzt machen?

Immer schön Klammern setzen:
Vz = pi * (rz)² * ((-hk * rz/rk) + hk)
oder Latex verwenden:


Jetzt ist das Volumen nur noch von der Variable rz abhängig. Da kannst du mit den üblichen Methoden das Maximum bestimmen.
Juliane83 Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort
Hallo noch mal,

ich check das immer noch nicht! :-(

Also ich schreib noch mal auf was ich bis jetzt habe:

Nebenbedingung: rk/ hk = rz/ hk-hz

Hauptbedingung: Vz = pi * (rz)² * hz


Nebenbedingung nach hz auflösen:

hz = [ (-hk * rz/rk) + hk]

dann das in in Hauptbedingung einsetzen

Folgt:

V (hz) = pi * (rz)² * [ (-hk*rz/rk) + hk]

So und was mach ich jetzt?

Ich habe leider keine Ahnung. Sorry!! Gruß Juliane
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Antwort
Zitat:
Original von Juliane83
V (hz) = pi * (rz)² * [ (-hk*rz/rk) + hk]

Erstens nützt es nichts, wenn du das ganze nochmal fast wortwörtlich hinschreibst und zweitens hatte ich schon gesagt, daß das Volumen nur noch von rz abhängt. Nicht von hz, denn das taucht in der Formel nicht mehr auf, und prinzipiell auch nicht von hk bzw. rk, denn das sind irgendwelche Konstanten. Andes gesagt: das Volumen ist eine Funktion von rz. Und von dieser Funktion wird das Maximum gesucht. Und wie man das Maximum einer Funktion bestimmt, solltest du wissen.
Juliane83 Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort
Hab mich da ja verschriebn bei der Formel von diesem

V(rz)= ....

naja, ich werd dann mal anders wo suchen, vielleicht gibt es ja da jemanden der mir da weiter hilft.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Antwort
Also etwas mußt du schon selber tun. Und die richtige Nebenbedingung habe ich dir schon hingeschrieben, ohne daß du irgendwas dazu beigetragen hast. Wie wäre es, wenn du auch mal meine Fragen beantwortest, z.B.: wie wird prinzipiell das Maximum einer Funktion bestimmt?
Juliane83 Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort
naja, das wird mit den Extremwerten gemacht.

Vorerst muss man die Funktion ableiten

die Extrem werte errechnet man dann mit der ersten Ableitung

die ersten Ableitung setzt man = 0 und löst diese nach x auf.

Die x- werte setzt man dann in die 2. ableitung ein, dann bekommt man die Extremwertem also Hoch und Tiefpunkt.


In meinem Fall müsste ich also:
V(rz) = pi *(rz)² * [ (-hk*rz/rk)+hk]

hier von die 1. und 2. ableitung bilden oder?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, und zwar nach rz.

Gruß Björn
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Antwort
Zitat:
Original von Juliane83
die Extrem werte errechnet man dann mit der ersten Ableitung

die ersten Ableitung setzt man = 0 und löst diese nach x auf.

Auch wenn es oberlehrerhaft aussieht, bin ich ein Freund genauer Formulierungen:
Mögliche Extremstellen sind die Nullstellen der ersten Ableitung.
Ob an diesen Stellen tatsächlich lokale Extrema sind, wird über das Vorzeichen der 2. Ableitung geklärt.
Den Extremwert als solches erhält man, in dem man die Extremstelle in die ursprüngliche Funktion einsetzt.

Wie Björn schon sagte, ist hier die Funktionsvariable nicht x, sondern rz.
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