Partialbruchzerlegung

12.11.2008, 21:27

Svenja1986

Partialbruchzerlegung

Nabend

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^5+x^4+4x^3-x^2+2x}{x^6+x^4+x^2-1} \end{eqnarray*}$

Hier soll eine Partialbruchzerlegung durchgeführt werden.
Irgendwie will's mir net so recht gelingen.

Also, der Nenner hat ja eigentlich nur 2 Nullstellen: 1 und -1

Also: $\begin{eqnarray*} (x-1)(x+1) \end{eqnarray*}$ Was man ja auch noch umschreiben kann zu $\begin{eqnarray*} (x^2+1) \end{eqnarray*}$ .
Aber wie mache ich jetzt weiter?

Theoretisch könnte ich doch jetzt einfach $\begin{eqnarray*} \frac{2x^5+x^4+4x^3-x^2+2x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ schreiben... verwirrt

12.11.2008, 21:46

DarkD

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RE: Partialbruchzerlegung
Wie kommt du auf die beiden Nullstellen den Nennerpolynoms?

Wenn ich da 1 einsetze kommt da nicht 0 raus.

12.11.2008, 21:50

Svenja1986

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Mist! Ich seh grad, dass mir da auch ein Fehler utnerlaufen ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^5+x^4+4x^3-x^2+2x}{x^6+x^4-x^2-1} \end{eqnarray*}$

So, sollte es aussehen Ups

12.11.2008, 21:51

Q-fLaDeN

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Desweiteren ist $\begin{eqnarray*} (x-1)(x+1) = x^2-1 \end{eqnarray*}$

12.11.2008, 21:56

DarkD

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Hattest du schon komplexe Zahlen?
Weil dann könntest du die weiteren Lösungen der Nennerpolynoms bestimmen.

12.11.2008, 21:57

Svenja1986

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Ja... und dann weiter? verwirrt

12.11.2008, 22:03

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von DarkD
Hattest du schon komplexe Zahlen?
Weil dann könntest du die weiteren Lösungen der Nennerpolynoms bestimmen.

Was soll das denn heißen? Muss man hier doch gar nicht.

Und $\begin{eqnarray*} \frac{2x^5+x^4+4x^3-x^2+2x}{x^6+x^4-x^2-1} \neq \frac{2x^5+x^4+4x^3-x^2+2x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Seit wann ist das Produkt der linearfaktoren der Nullstellen des Nenners gleich dem Nenner?

Weiterhelfen kann ich dir leider auch nicht (aber Fehler verbessern kann ich ganz gut Big Laugh

)

12.11.2008, 22:03

DarkD

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Wenn du komplexe Zahlen kennst, dann kannst du mittels Polynomdivision die anderen Lösungen des Polynoms bestimmen (insgesamt müssen es 6 Lösungen) zwei kennst du schon.

$\begin{eqnarray*} \frac{x^6+x^4-x^2-1}{(x+1)(x-1)} \end{eqnarray*}$

Im Grunde erst eine Polydiv mit der Nullstelle 1 und dann mit -1

12.11.2008, 22:05

DarkD

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN

Zitat:

Original von DarkD
Hattest du schon komplexe Zahlen?
Weil dann könntest du die weiteren Lösungen der Nennerpolynoms bestimmen.

Was soll das denn heißen? Muss man hier doch gar nicht.

Hast Recht, aber ich kenn keine bessere Lösunge. Welchen Lösungsvorschlag hast du denn?

12.11.2008, 22:07

Svenja1986

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Ich komme da auf keine anderen Lösungen... Immer nur -1 und 1... Sind das dann irgendwie doppelte Nullstellen?

12.11.2008, 22:12

DarkD

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-1 und 1 sind die reellen Lösungen. Es gibt aber noch komplexe Lösungen. Aber wenn du noch keine komplexe Zahlen hattest, wird meine Lösungen bestimmt zu kompliziert.

Nach Polydiv kommt man auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^6+x^4-x^2-1}{(x+1)(x-1)} = (x^2 + 1)^2 \end{eqnarray*}$

Und (x² + 1)² hat 4 komplexe Lösungen (2 doppelte).

Kannst du mir folgen? Ansonsten hat vielleicht Q-fLaDeN noch einen einfacheren Weg.

12.11.2008, 22:12

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Svenja1986
Ich komme da auf keine anderen Lösungen... Immer nur -1 und 1... Sind das dann irgendwie doppelte Nullstellen?

Nein das sind einfache, und auch die einzigen (In $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ )

Ich würde dir gerne helfen, aber ich kanns leider selbst nicht Augenzwinkern

Zitat:

Original von DarkD
Ansonsten hat vielleicht Q-fLaDeN noch einen einfacheren Weg.

Nein

Mach ruhig weiter.

12.11.2008, 22:20

DarkD

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OK, dann versuch ich das mal bestmöglich zu erklären.
Also das Polynom hat 6 Lösungen (2 reellen und 4 komplexe)
Wir haben jetzt 2. Polynomdivision gemacht. Und haben folgendes Polynom raus:

$\begin{eqnarray*} (x^2 + 1)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt müssen wir nur noch davon die Lösungen bestimmen:

$\begin{eqnarray*} (x^2 + 1)\cdot (x^2 + 1)=0 \end{eqnarray*}$

Das Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren 0 ist, also betrachten wir:

$\begin{eqnarray*} x^2 + 1=0 \end{eqnarray*}$

So, die Lösungen dieser Gleichung zu berechnen überlass ich jetzt dir.

12.11.2008, 22:21

Svenja1986

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Zitat:

Original von DarkD

Und (x² + 1)² hat 4 komplexe Lösungen (2 doppelte).

Kannst du mir folgen? Ansonsten hat vielleicht Q-fLaDeN noch einen einfacheren Weg.

Also, die komplexen Zahlen hatten wir zwar letztens mal, aber die Anwendung in so einer Partialbruchzerlegung verstehe ich noch nicht so richtig.

12.11.2008, 22:29

DarkD

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Gut, aber wenn du die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x^2+1=0 \end{eqnarray*}$

lösen kannst und addieren+multiplizieren kannst mit komplexen Zahlen, dann dürftest du genug wissen. Ich selbst hatte komplexe Zahlen auch noch nicht lange.

Ich will darauf hinaus, dass du Aufgabe so umschreiben kannst:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^5+x^4+4x^3-x^2+2x}{(x+1)(x-1)(x+?)(x+?)(x+?)(x+?)} \end{eqnarray*}$

Die ? sind die komplexen Lösungen, denn dann kannst du folgendes schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^5+x^4+4x^3-x^2+2x}{(x+1)(x-1)(x+?)(x+?)(x+?)(x+?)} = \frac A{x+1} + \frac B{x-1} + \frac C{x+?} + \frac D{x+?} + \frac E{x+?} + \frac F{x+?} \end{eqnarray*}$

Den Rest solltest du dann selber können. Ist im Grund nichts anderes als mit reellen Zahlen.

EDIT:
Sorry hab mich beim Zähler verschrieben.

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