Definitionsmenge möglichst einfach finden?

27.08.2006, 13:42

Delryn

Definitionsmenge möglichst einfach finden?

Angenommen ich habe folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-1)*(x-2)*(x-3)} \end{eqnarray*}$

Diese Funktion ist definiert für

$\begin{eqnarray*} x \in [1;2] \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} x \in [3;\infty[ \end{eqnarray*}$

Nur wie bekommt man das möglichst schnell raus? Muss man jedes mal ausmultiplizieren und schauen wann x < 0 ist? Ist das nicht total aufwändig? Gibt's da einen Trick?

27.08.2006, 13:48

rain

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Naja,du weisst ja dass ein Term unter einer Wurzel nicht Null werden darf,und wenn Du dir nun den Term $\begin{eqnarray*} (x-1)(x-2)(x-3) \end{eqnarray*}$ als eine Funktion vorstellst,weisst du ja aufgrund der Linearfaktoren dass die Nullstellen an den Stellen x=1,x=2 und x=3 liegen. Wenn du deine Funktion nun ausmultiplizieren würdest heisst sie ja so: x³+.....,was nachdem x³ kommt interessiert erstmal garnicht.Dieses x³ verrät dir nun den etwaigen Verlauf dieser Kurve,also kommt von unten aus dem negativen Bereich,geht durch N(1/0) wird dann positiv,schneidet die X-Achse wieder im Punkt R(2/0),wird nun wieder negativ und ab x=3 erneut positiv.

Hoffe du hast irgendwas verstanden...

27.08.2006, 13:52

irre.flexiv

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Warum darf der Term nicht Null werden?

Der Term darf nur nicht kleiner Null sein.

Deshalb der Ansatz $\begin{eqnarray*} (x-1)(x-2)(x-3) >= 0 \end{eqnarray*}$

Diese Ungleichung musst du jetzt untersuchen das ist schon alles.

27.08.2006, 13:52

Delryn

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Zitat:

Original von rain
Naja,du weisst ja dass ein Term unter einer Wurzel nicht Null werden darf,und wenn Du dir nun den Term $\begin{eqnarray*} (x-1)(x-2)(x-3) \end{eqnarray*}$ als eine Funktion vorstellst,weisst du ja aufgrund der Linearfaktoren dass die Nullstellen an den Stellen x=1,x=2 und x=3 liegen. Wenn du deine Funktion nun ausmultiplizieren würdest heisst sie ja so: x³+.....,was nachdem x³ kommt interessiert erstmal garnicht.Dieses x³ verrät dir nun den etwaigen Verlauf dieser Kurve,also kommt von unten aus dem negativen Bereich,geht durch N(1/0) wird dann positiv,schneidet die X-Achse wieder im Punkt R(2/0),wird nun wieder negativ und ab x=3 erneut positiv.

Hoffe du hast irgendwas verstanden...

Was ich nicht verstande habe ist, wieso der Term unter der Wurzel nicht 0 werden darf Big Laugh

Wurzel 0 ist doch definiert, oder nicht?

Ich seh aber gerade das ich lieber aufhören sollte, mit dem lernen... ein Produkt ist genau dann 0 wenn einer der Faktoren 0 ist, und siehe da man kommt sehr schnell auf die Definitionsmenge.

Ich brauch mehr schlaf Hammer

// Edit:
Halt Moment, ich widerspreche mir selbst. Wenn der Term nicht 0 werden dürfte, dann wäre es so richtig. Aber er darf ja 0 werden, deswegen zählt meine Argumentation gar nicht.
Die Eingangsfrage steht somit noch

27.08.2006, 14:20

JochenX

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Natürlich nach Ansatz von irre.flexiv:

Ein Produkt aus n Faktoren ist genau dann <0, wenn
a) keiner der Faktoren 0 ist.
zusätzlich b) eine ungerade Anzahl der Faktoren <0 ist.

Hier also, damit das ganze >=0 ist:
- entweder einer der Faktoren muss 0 sein, das kriegen wir schnell raus
- ansonsten müssen alle drei oder einer positiv sein
Hier wechselt beim Durchgang durch die Nullstellen jeweils einer der Faktoren sein Vorzeichen, zwischen den Nullstellen tut sich da nix.
d.h. es gibt noch 4 kritische Intervalle
a) x<1
b) 1<x<2
c) 2<x<3
d) 3<x

Diese 4 Intervalle prüfst du kurz, z.B. für a) gibt es 3 negative Faktoren => insgesamt negativ, Intervall a) ist nicht drin.
usf.

27.08.2006, 14:34

Delryn

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Okay, also muss man da doch ein wenig Arbeit investieren Augenzwinkern

Danke

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