Steckbrief Aufgaben |
| 27.08.2006, 13:57 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Steckbrief Aufgaben aber jetzt bei den Hausaufgaben weiß ich nicht was ich weiter machen soll.. Aufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse. Er hat im Punkt P1(2|0) die Steigung 2 und im Punkt P2(-1|y2) einen Wendepunkt. Wie lautet der Funktionsterm? Ermitteln Sie die Gleichung der Wendetangente. So als erstes hab ich die allgemeine Gleichung mit der 1. und 2. Ableitung aufgestellt. (Da der Graph symmetrisch zu y-achse ist, wissen wir schon mal das nur gerade Exponenten vorhanden sind) also: f(x)= ax^4+bx²+c f'(x)= 4ax³+2bx f''(x)= 12ax²+2b jetzt hab ich den 1. Punkt mit der Steigung 2 eingesetzt. f(2)=0: 16a+4b+c=0 f'(2)=2: 32a+4b=2 dann hab ich den 2. Punkt genommen. f(-1)=y2: a+b+c=y2 f''(-1)=0: 12a+2b=0 Und an dieser Stelle weiß ich jetzt nicht weiter. Was kann ich jetzt mit den neuen Gleichungen anfangen? Muss ich noch die Variablen a,b,c,d,e ausrchenn? |
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| 27.08.2006, 14:03 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Cara
Diese Gleichung ist überflüssig und auch unbrauchbar, weil im Punkt P2 die y-Koordinate nicht konkret gegeben ist. Nur wenn ein Punkt vollständig gegeben ist, lohnt es sich daraus eine Bedingungsgleichung zu machen (also wie bei P1) Deine gesuchte Funktion enthält ja drei noch unbekannte Variablen a,b und c. Das bedeutet, dass du auch 3 Gleichungen brauchst um an diese Variablen zu gelangen. Und diese 3 Gleichungen hast du ja schon prima gefunden. Jetzt musst du nur noch dieses Gleichungssystem lösen. Gruß Björn |
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| 27.08.2006, 14:08 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
erst einmal dankeschön für die scnelle antwort fragen: wenn meine aufgestellte gleochung nun unbrauchbar ist(was ich dir ja auch glaube) was mach ich dann mit dem y2? muss ich das vorher irgendwie ausrechnen? und die 3 gleichungen die du jetzt meinst sind die, oder? f(2)=0: 16a+4b+c=0 f'(2)=2: 32a+4b=2 f'(2)=2: 32a+4b=2 und an die variablen kommt man über additionsverfahren doer so? kann das sein? |
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| 27.08.2006, 14:12 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f(2)=0: 16a+4b+c=0 f'(2)=2: 32a+4b=2 f''(-1)=0: 12a+2b=0 Das meinst du sicher. Ja, man kann das durch das Additionsverfahren lösen.
Wenn du deine Funktion (also durch a,b,c) gefunden hast, kannst du ja leicht durch f(-1) den y-Wert rausfinden, was dann für die Wendetangente wichtig ist. Gruß Björn |
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| 27.08.2006, 14:17 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ops, ja die meinte ich, tschuldigung. oh.. ja das liegt auf der Hand. Na gut dann werd ich mich jetzt mal dran versuchen... werd meien Ergebnisse dann danach hier reinschreiben. Dankeschön |
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| 27.08.2006, 14:34 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ähm auch wenn das jetzt doof klingen mag (diese verfahren sind schon bisschen länger her) geht das mit 3 unbekannten genauso oder muss man da irgendwas besonderes beachten? --- edit: eliminieren fällt mir da gerade ein... ist das richtig? |
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| 27.08.2006, 14:39 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist genau das richtige Stichwort. Du könntest das auch alles in eine Matrix schreiben und dann Nullen erzeugen aber machs ruhig so, wie du es am besten kannst. Hier würde es sich z.B. anbieten die zweite Gleichung mit 2 zu multiplizieren und diese dann von der dritten Gleichung abzuziehen. Dadurch "eliminierst" du somit das b aus einer Gleichung |
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| 27.08.2006, 14:47 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
irgendwas mache ich falsch oder? unmöglich das es an den einfachsten sachen scheitert hab erst mal die 1. beiden gleichungen genommen 16a+4b+c=0 32a+4b =2 die erste gleichung *2 32a+8b+2c=0 32a+4b =2 das substrahieren, dann: 8b+2c=0 4b =0 jetzt gleichsetzen, also gleichung nach b umstellen b= -2/8c b= 0 -2/8c = 0 /(-2/8) c = 0 ist das so richtig? |
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| 27.08.2006, 14:53 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das substrahieren, dann: 8b+2c=0 4b =0 Hier müsste das eigentlich das stehen: 32a+8b+2c=0 (das ist ja deine Basisgleichung, die einfach so stehen bleibt) 4b+2c=-2 (Hier wird ALLES miteinander verrechnet) |
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| 27.08.2006, 14:57 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hm versteh ich nicht o.O wieso brauch ich jetzt wieder die brasisgleichung? und warum steht da noch die 32a? die hab ich doch erstmal weggemacht oder nicht? und was ist das zweite überhaupt für ne gleichung? |
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| 27.08.2006, 15:05 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Basisgleichung bleibt einfach so stehen, es ändert sich immer nur EINE Gleichung, hier also die zweite. Die zweite Gleichung entsteht dann durch Subtraktion von Gleichung I und II Also: Die neue linke Seite des Gleichung erhält man dadurch 32a+8b+2c-32a-4b=4b+2c Die rechte Seite wird dann zu 0-2=-2 Daraus ergibt sich die neue Gleichung, also 4b+2c=-2 Weisst du jetzt wie ichs meine? Edit: Wenn dir das Additionsverfahren nicht so gefällt, machs doch so: Forme die dritte Gleichung z.B. nach a um. Setze den Term für a in die zweite Gleichung ein und forme nach b um. Dadurch erhälst du schonmal Lösungen für a und b, welche du dann nur noch in dei erste Gleichung einsetzen musst, um c zu erhalten. |
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| 27.08.2006, 15:11 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nee.. aber ich glaub ich bin auch ganz raus.. können wir nochmal von vorn anfangen? von den 3 gleichungen 1. f(2)=0: 16a+4b+c=0 2. f'(2)=2: 32a+4b=2 3. f''(-1)=0: 12a+2b=0 nehm ich die ersten beiden, richtig? f(2)=0: 16a+4b+c=0 f'(2)=2: 32a+4b=2 nehme die 1. /*2 32a+8b+2c=0 32a+4b=2 und jetzt substrahier ich alles voneinander? damit ich nur noch 4b+2c=-2 habe? und jetzt weiß ich nicht wieter |
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| 27.08.2006, 15:18 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau, dein neues Gleichungssystem lautet jetzt: 16a+4b+c=0 4b+2c=-2 12a+2b=0 Jetzt müsstes du das gleiche analog nochmal mit der ersten und dritten Gleichung machen, wodurch dann als neue dritte Gleichung eine Gleichung mit b's und c's entstehen sollte (können aber auch a's und c's sein). Und als letztes muss man dann noch die zweite mit der dritten Gleichung derart verrechnen, dass wieder eine Variable eliminiert wird. Aber es geht mit dem von mir in meinem letzten Post geschilderten Einsetzungsverfahren auch recht schnell. Musst du aber wissen, wie du es lieber magst. Gruß Björn |
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| 27.08.2006, 15:26 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
aah jetzt hab ichs wenigstens verstanden^^ daankeschön.. aber hab trotzdem noch ein problem dabei. hab jetzt im 2. schritt also 1.+3 genommen und eliminiert (48a+12b+3c0= 48a+6b=0 = 6b+3c=0) jetzt hab ich 2.+3. genommen und wiede rzu eliminieren 12b+6c=-6 12b+6c=0 wenn ich jetzt aber substrahiere hab ich ja keine variable mehr übrig?? |
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| 27.08.2006, 15:32 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaub du hast dich einmal verrechnet. Statt 48a+6b=0 müsste es glaub ich 48a+8b=0 lauten (da du ja mit 4 multiplizierst) Dann sollte auch was vernünftiges rauskommen 
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| 27.08.2006, 15:42 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
kommt das hin, dass c= -2 b = 1,5 a = -0,25 ist?? und das y2 dann = -0,75 ist? und mein funktionsterm wäre doch dann: -0,25x^4+1,5x²-2 |
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| 27.08.2006, 15:47 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sieht gut aus 
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| 27.08.2006, 15:51 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
dankeschön.. echt. ich hoffe ich war nicht zu anstrengend. aber eine kleine frage habe ich noch... zur ermittlung der wendetangente brauch ich doch den wendepunkt p2 (-1/y2=-0,75) und diese steigung 2 oder? |
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| 27.08.2006, 15:54 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Überhaupt nicht, hat mir Spass gemacht dir zu helfen Hab allerdings nochmal nachgerechnet... Hast du dich evtl mit den Vorzeichen vertan? Ich bekomme a=0,25 b= -1,5 und c= 2 raus. Deine Überlegungen zur Wendetangente sind richtig. Du brauchst den Punkt und f'(-1) |
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| 27.08.2006, 15:59 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
gut,danke. hm.. ich hab jetzt noch mal nach geschaut wgen den vorzeichen fehlern.. find jetzt aber keinen fehler.. also ich hab z.B 4b+2c=-2 4b+3c=0 die untere von der oberen abgezogen -c=2 / 
-1)c=-2 oder? |
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| 27.08.2006, 16:02 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nee, es müsste -c=-2 heissen. Auf der rechten Seite der Gleichung rechnest du ja -2-0, und das ist -2. Gruß Björn |
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| 27.08.2006, 17:56 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja stimmt.. so hab mich jetzt mal mit der tangente befasst und die allgemeine tangenten gleichung lautet ja y=m*x+b m= steigung (die steigung 2, die schon in der aufgabe vorgegeben war?) b= y-achsenabschnitt (hab ich noch nicht oder? und x/y auch nicht? |
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| 27.08.2006, 18:12 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für die Gleichung der Wendetangente m*x+b brauchst du zunächst mal deren Steigung, also die Steigung in dem Wendepunkt, also an der Stelle x=-1 Kannst ja mal gucken was da rauskommt. (Habe ja oben geschrieben, dass du f'(1) brauchst) Um jetzt noch an das b zu kommen setzt du einfach den Wendepunkt (-1/f(-1)) in die Tangentengleichung ein (natürlich erst nachdem du m bestimmt hast), sprich m*(-1)+b=f(-1) Das musst du dann nur noch nach b auflösen. Ich hoffe, dass du weisst was ich meine. |
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| 27.08.2006, 18:16 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
gut, wäre auch zu einfach gewesen wenn das die vorgegebene steigung gewesen wäre.. aber woehr kommt jetzt genau die x=-1 ach kla.. die x koordinate des wendepunktes.. und die muss ich in den funktionsterm einsetzen den ich mir vorhin da zusammen gebastelt habe? und was da dann für y rauskommt ist die steigung? |
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| 27.08.2006, 18:25 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, der normale Funktionsterm hat nichst mit der Steigung zu tun. Wenn du die Steigung des Graphen an einer bestimmten Stelle (hier x=-1) herausfinden willst, brauchst du immer die erste Ableitung, also f '(-1). Konnte man oben ohne Leerzeichen vielleicht nicht so gut erkennen, dass ich die erste Ableitung meinte 
Also wenn du x=-1 in die erste Ableitung einsetzt, erhälst du die gesuchte Steigung der Wendetangente. |
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| 27.08.2006, 18:35 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok.. verstanden und gleich notiert 1. Ableitung gibt immer Steigung an! So jetzt noch eine Frage zum Wendepunkt.. du hattest gesagt den Wendepunkt (-1/f(-1)) aber ist das nicht der Wendepunkt der schon vorgegeben war? Also (-1/y2) ? Also müsste ich dann nicht DEN Punkt in die Gleichung einsetzen? Wenn nicht dann frag ich mich wieso du bei deinem Wendepunkt auch x=-1 hast? |
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| 27.08.2006, 18:41 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jawoll. Wollte mit f(-1) nur noch mal andeuten, dass du noch die y-Koordinate des Wendepunktes berechnen musst. |
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| 27.08.2006, 18:50 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
die hatte ich ja schon berechnet 
aber danke fürs dran erinnern 
so jetzt hab ich die aufgabe auch endlich fertig.. ohne deine hilfe natürlich nie geschafft.. also zumindenstens nicht korrekt. Ich kann mich gar nicht oft genug bedanken.. Die 2. Aufgabe versuch ich jetzt erstmal vollkommen alleine zu machen.. wenn es scheitern sollte sieht man sich ja evt morgen wieder.. aber eine klitze kleine Frage hab ich noch (wirklich die letzte^^) was beudetet es wenn der Graph durch den Nullpunkt des Koordinatensystems geht.. geht er dann durch (0/0) |
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| 27.08.2006, 18:52 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und wie er das tut
Also dann gutes Gelingen mit deiner anderen Aufgabe
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| 28.08.2006, 14:55 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
so hier bin ich mal wieder^^ hab jetzt so nur ein problem bis jetzt (rein theoretisch gesehen, obs in der praxis nachhe rnoch welche gibt.. wer weiß..) also erstmal allgemein die aufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Nullpunkt des Koordinatensystems. Er hat in P1(1/1) ein Maximum und in P2(3/y2) einen Wendepunkt. Wie lautet der Funktionsterm? Also erstmal f(x)=ax³+bx²+cx+d f'(x)= 3ax²+2bx+c f''(x)= 6ax+2b Dann muss ich ja jetzt den P1 einsetzen. f(1)=1 und f'(1)=0 oder? und an den Wendepunkt komm ich wieder durch f(3)=y2 und f''(3)=0 oder? So das jetzt nur so rein zur Kontrolle..danach muss ich ja einfach wieder additionsverfahren mit den 3 gleichungen machen, richtig? wie gestern halt. Aber die Frage die sich mir jetzt stellt ist, was hab ich davon wenn ich weiß das der Graph durch (0/0) geht? Ich kann damit jetzt gerade nicht so viel anfangen..aber ich weiß das es irgendeine Bedeutung haben muss! EDIT: Ich bin jetzt zwar nochmal für 2-3 stunden in der schule meld mich dann aber heute abend nochmal und würde mcih über eine antwort natürlich trotzdem freuen |
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| 28.08.2006, 15:00 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da deine Funktion 4 Parameter hat, brauchst du auch vier Gleichungen. Eine bekommst du noch durch f(0)=0. PS: ist das eine neue Aufgabe. Wenn ja, wäre es besser, einen neuen Thread aufzumachen. |
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| 28.08.2006, 18:22 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ähm ja ist eine neue aufgabe.. sol ich jetzt noch mal einen neuen thread eröffnen? und die f(0)=0 hab ich jetzt wegen dem nullpunkt im koordinatensystem? dann müsste aber d=0 sein? |
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| 28.08.2006, 18:28 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zweimal JA
Gruß Björn |
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| 28.08.2006, 18:43 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
gut, erstmal danke jetzt hab ich ja 4 verschiedene gleichungen 1. f(1)=a+b+c+d=1 2. f'(1)=3a+2b+c=0 3. f''(3)= 18a+2b=0 4. f(0)= d=0 (und natürlich noch die f(3)= 27a+9b+3c+d=y2 (aber die kann ich ja auch erstmal nicht gebrauchen) also muss ich jetzt die 1. vier wieder eliminieren? oder nur die ersten 3? weil mit der 4. kann ich ja nicht sonderlich viel anfangen.. ich weiß dadurch nur das ich bei der ersten das d weglassen könnte oder? Und dann hab ich im endeffekt wieder nur 3 gleichungen zum eliminieren so wie gestern,s timmts? |
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| 28.08.2006, 18:49 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genauso kannst du es machen. |
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| 28.08.2006, 19:13 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
so heute hat es mit dem additionsverfahren wesentlich besser geklappt
könntest du über meine lösung denn evt einmal drüber fliegen? und noch eine frage: sind rundungsfehler wo das ergebnis um 0,04 größer ist ein großer fehler? der ist ja nur durchs runden entstanden.. Rechnungen: 1. a+b+c=1 3a+2b+c=0 -> b+2c=3 2. a+b+c=1 18a+2b=0 -> 16b+18c=18 3. b+2c=3 16b+18c=18 -> c=2,14 4. b+2*(2,14)=3 -> b= -1,28 5. a-1,28+2,14=1 a+0,86=1 -> a= 0,14 Funktionsterm: 0,14x³-1,28x²+2,14x |
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| 28.08.2006, 19:24 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Also von der Vorgehensweise ist kein Fehler erkennbar. Allerdings würde ich auf Rundungen verzichten, also z.B. an der Stelle wo du für c= 30/14 erhälst. Kürze einfach und rechne mit c= 15/7 weiter. So schlimm sind die Brüche ja noch nicht
Und das Ergebnis wird eben durch Rundungen immer ungenau und bei solchen Aufgabentypen ist schon immer nach der exakten Funktionsvorschrift gesucht. Aber wie gesagt, ansonsten hast du es prima gemacht
Gruß Björn |
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| 28.08.2006, 21:09 | Cara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hm da du deine pn's entweder net liest oder evt nicht drauf antwortest bedank ich mich hier noch einmal.. ich hoffe ich war nicht eine der, die alles vorgekaut haben wollten.. hab mich schon bemüht das selbst zu finden etc.. also danke nochmal
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| 28.08.2006, 21:54 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Habs jetzt nachgeholt und dir ne PN zurückgeschrieben
Nöö, fand ich jetzt nicht - hast auch schon Eigeninitiative gezeigt.
Nur mach für weitere Fragen lieber nen neuen Thread auf. Bye 
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