Zahlenebene-Körper

12.11.2008, 22:13

strato

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Zahlenebene-Körper

Hallo!

Folgende Aufgabe fehlt mir noch und ich finde einfach keinen richtigen Ansatz.

In R x R werden für $\begin{eqnarray*} x=(x_1, x_2) \in R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=(y_1, y_2) \in R^2 \end{eqnarray*}$ folgende Verknüpfungen definiert:

$\begin{eqnarray*} x +y := (x_1+y_1, x_2+y_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \cdot y := (x_1y_1- x_2y_2, x_1y_2+x_2y_1) \end{eqnarray*}$

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ mit dieser Addition und Multiplikation die Struktur eines Körpers behält.

Bestimme alle $\begin{eqnarray*} x \in R^2 \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft: $\begin{eqnarray*} x \cdot x=x^2=(0, 1) \end{eqnarray*}$

Und welcher Zusammenhang ergibt sich zu den komplexen Zahlen?

12.11.2008, 22:30

klarsoweit

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RE: Zahlenebene-Körper
Zwischen R² und C gibt es eine triviale bijektive Abbildung:
(x_1, x_2) --> x_1 + x_2 * i

12.11.2008, 23:17

strato

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Achso, dann ist das der Zusammenhang zu den komplexen Zahlen. smile

smile

Muss ich nun die Definition der Multiplikation/Addition in die Schreibweise mit dem Imaginärteil umändern?

13.11.2008, 09:52

klarsoweit

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Das kannst du machen, scheint mir aber in der Aufgabe nicht gefordert zu sein.

13.11.2008, 13:46

mYthos

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Die Sache sollte zunächst ohne die Kenntnis der Struktur der komplexen Zahlen durchgezogen werden, obwohl natürlich - wie danach später zu erkennen ist - im Hintergrund dieser Isomophismus besteht.

Gehe also zunächst alle Körpereigenschaften mit den beiden angegebenen Verknüpfungsvorschriften durch.

Hinweis: Für die neutralen Elemente solltest du $\begin{eqnarray*} n_+ = (0,0), \ n_* = (1,0) \end{eqnarray*}$ erhalten. Für letzteres $\begin{eqnarray*} n_* = (n_1,n_2) \end{eqnarray*}$ löst du das lGS

$\begin{eqnarray*} x_1n_1 - x_2n_2 = x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2n_1 + x_1n_2 = x_2 \end{eqnarray*}$
----------------------------------

nach den n-Werten auf.
__________________________

Analog lösen wir $\begin{eqnarray*} x^2 = (0,1) \end{eqnarray*}$ ; mit $\begin{eqnarray*} x = (x_1, x_2) \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} x_1^2 - x_2^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1x_2 + x_2x_1 = 1 \end{eqnarray*}$
____________________

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Beide Gleichungssysteme resultieren einfach aus dem Einsetzen in die angegebene Verknüpfungsvorschrift.

mY+

13.11.2008, 15:07

strato

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$\begin{eqnarray*} x +y := (x_1+y_1, x_2+y_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \cdot y := (x_1y_1- x_2y_2, x_1y_2+x_2y_1) \end{eqnarray*}$

Mir ist nur unklar, wie ich das überprüfen soll.

Also, mit $\begin{eqnarray*} x=(x_1, x_2) \in R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=(y_1, y_2) \in R^2 \end{eqnarray*}$ ; ich muss in die beiden Gleichungssystem doch etwas einsetzen, um sie zu überprüfen.

Kommen hier die Axiome ins Spiel bzw. deshalb die Anmerkung von mythos im Beitrag "Gleichungen überprüfen"?

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13.11.2008, 15:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von strato
Mir ist nur unklar, wie ich das überprüfen soll.

Was willst du denn überprüfen?

13.11.2008, 15:29

strato

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Also prüfen, ob $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ auch wirklich die Struktur eines Körpers beibehält (Angabe)

Bzw.: "Gehe also zunächst alle Körpereigenschaften mit den beiden angegebenen Verknüpfungsvorschriften durch."

13.11.2008, 15:35

klarsoweit

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OK. Dann gehe das Schritt für Schritt durch. Wenn du bei dem Beweis einer Eigenschaft ein Problem hast, dann poste das.

13.11.2008, 15:52

strato

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Hallo!

Also, genau das hatte ich eigentlich gemeint (mit dem "Problem"). Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Körpereigenschaften sind ja folgende:

Abgeschlossenheit
Kommutativität +
Assoziativität +
Nullelement
Inverses Element +
Inverses Element *
Kommutativität *
Assoziativität *
Einselement
Distributivgesetz

Gegeben sind:

$\begin{eqnarray*} x=(x_1, x_2) \in R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=(y_1, y_2) \in R^2 \end{eqnarray*}$

Aber wie überprüfe ich das jetzt im Bezug auf

$\begin{eqnarray*} x +y := (x_1+y_1, x_2+y_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \cdot y := (x_1y_1- x_2y_2, x_1y_2+x_2y_1) \end{eqnarray*}$

Also, mir ist der Ansatz unklar/was ich tun muss...also, wenn ich jetzt z.B. die Körpereigenschaft "Kommutativität der Addition" überprüfen will.

13.11.2008, 16:05

klarsoweit

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Kommutativität ist das allereinfachste (zumindest bei der Addition):
Du mußt nur zeigen, daß x + y = y + x ist.

Setze dazu die Definitoin ein. Das ist ein Einzeiler.

13.11.2008, 16:39

strato

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Mit den beiden gegebenen x und y wäre der Ansatz dann:

$\begin{eqnarray*} (x_1, x_2)+(y_1, y_2)=(y_1, y_2+x_1, x_2) \end{eqnarray*}$

Aber ich muss es doch in Bezug auf die gegebene Addition überprüfen, oder?

Also auf:

$\begin{eqnarray*} x +y := (x_1+y_1, x_2+y_2) \end{eqnarray*}$

Und das ist ja mein Problem...könnte vl. jemand eine Überprüfung durchführen, sodass ich das Muster dahinter sehen kann?

13.11.2008, 17:04

mYthos

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$\begin{eqnarray*} x + y := (x_1, x_2) + (y_1, y_2) = (x_1+y_1, x_2+y_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y + x := (y_1, y_2) + (x_1, x_2) = (y_1+x_1, y_2+x_2) = (x_1+y_1, x_2+y_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x_1, x_2) + (y_1,y_2) = (y_1,y_2) + (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$

Die Eigenschaften der in der Vernüpfungsvorschrift gegebenen Rechenoperationen für die beiden Komponenten der Zahlenpaare übertragen sich auf die Zahlenpaare selbst.

mY+

13.11.2008, 17:45

strato

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Ich habe jetzt noch Assoziativität und das neutrale Element der Addition bewiesen.
Jetzt habe ich mit der Multiplikation begonnen:

$\begin{eqnarray*} (x_1, x_2) \cdot ((y_1, y_2) \cdot (z_1, z_2)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(x_1, x_2) \cdot (y_1z_1+y_2z_2, y_2z_1+y_1z_2) \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

Ich muss jetzt ja noch weiter auflösen...bin mir aber nicht sicher, welches Element ich mit welchem multiplizieren muss:

$\begin{eqnarray*} (x_1y_1z_1+x_1y_2z_2, x_2y_2z_1+x_2y_1z_2) \end{eqnarray*}$

?

13.11.2008, 18:19

mYthos

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Die letzte Zeile stimmt nicht. Die Verknüpfungsregel ist "konsequent" anzuwenden.

$\begin{eqnarray*} \ldots = x_1(y_1z_1+y_2z_2)-x_2(y_2z_1+y_1z_2), x_1(y_2z_1+y_1z_2)+x_2(y_2z_1+y_1z_2) = \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

13.11.2008, 19:50

strato

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Danke!

Jetzt hat es geklappt! smile

smile

Ist die Zusatzaufgabe:

"Bestimme alle $\begin{eqnarray*} x \in R^2 \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft: $\begin{eqnarray*} x \cdot x=x^2=(0, 1) \end{eqnarray*}$ "

eigentlich unabhängig von der ersten zu bewältigen?

13.11.2008, 23:36

mYthos

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Hast du das übersehen?

Zitat:

Original von mYthos
...
Analog lösen wir $\begin{eqnarray*} x^2 = (0,1) \end{eqnarray*}$ ; mit $\begin{eqnarray*} x = (x_1, x_2) \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} x_1^2 - x_2^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1x_2 + x_2x_1 = 1 \end{eqnarray*}$
____________________

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Beide Gleichungssysteme resultieren einfach aus dem Einsetzen in die angegebene Verknüpfungsvorschrift.
...

Dazu brauchst du lediglich die Verknüpfungsvorschrift für die "Multiplikation" *

mY+

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