Nullfolge

12.11.2008, 22:48

energyfull

Nullfolge

hi mathematiker,

ich habe schwierigkeiten diese aufgabe zu lösen:

sei (Zn) n=1--> unendlich eine Nullfolge und (Wn) n=1--> unendlich eine beschränkte nullfolge komplexer zahlen. zeigen sie dass (ZnWn) n=1--> unendlich wiederum eine Nullfolge ist

wie kann ich das machen

13.11.2008, 08:52

Dual Space

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RE: Nullfolge
Der Grenzwertsatz für Produkte liefert doch sofort das Ergebnis.

Falls du den nicht verwenden willst geht es doch auch ganz einfach mittels

$\begin{eqnarray*} |z_nw_n-0|=|z_n|\cdot|w_n|\to 0 \end{eqnarray*}$

Wo ist also das Problem? verwirrt

13.11.2008, 11:05

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RE: Nullfolge

Zitat:

Original von energyfull
und (Wn) n=1--> unendlich eine beschränkte nullfolge komplexer zahlen

Ich vermute mal, dass statt nullfolge in der Aufgabenstellung nur Folge steht: Dann ist die Satzaussage nämlich trotzdem noch richtig, und bei "beschränkte Nullfolge" ist das Attribut "beschränkt" ja irgendwie obsolet. Augenzwinkern

13.11.2008, 14:16

energyfull

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das mit nullfolge stimmt schon.

he reicht das so wenn man das schreibt oder wie?? können sie mir das einbisschen erläutern damit ich das auch richtig verstehe, wäre echt lieb

--- Doppelpost zusammengefügt! (DS) ---

sorry sorry nehme zurück was ich gesagt habe da steht beschränkte folge komplexer zahlen

13.11.2008, 14:20

Dual Space

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Wegen der Beschränktheit von $\begin{eqnarray*} (w_n) \end{eqnarray*}$ gibt es eine Zahl M, so dass $\begin{eqnarray*} |w_n|\leq M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Nun haben wir also

$\begin{eqnarray*} |z_nw_n-0|=|z_n|\cdot |w_n|\leq M|z_n| \end{eqnarray*}$

jetzt kannst du mit Hilfe der Konvergenz $\begin{eqnarray*} z_n\to 0 \end{eqnarray*}$ die Behauptung zeigen.

13.11.2008, 15:05

energyfull

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ist die aufgabe jetzt so gelöst???

13.11.2008, 15:13

Dual Space

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Natürlich noch nicht. Ich habe dir aber bereits alle Zutaten des Beweises verraten.

13.11.2008, 15:38

energyfull

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es tut mir jetzt echt leid aber ich verstehe noch nicht was ich da genau machen soll, soll ich jetzt für Zn immer 0 einsetzen

13.11.2008, 15:56

Dual Space

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Also irgendwas musst du hier schon selber machen. Nimm dir deinen Hefter oder irgendein Buch und schau dir mal an was Konvergenz eigentlich bedeutet. Dann wird es dir wie Schuppen von den Augen fallen.

13.11.2008, 16:19

energyfull

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definition von konvergent:

sei (an) n € $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine folge reller zahlen. die folge heisst konvergnet gegen a € $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , wenn gilt
zu jeden epsilon >0 existiert ein N € $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ so dass
|an-a|< epsilon für alle n größer gleich N

--- Mehrfachpost zusammengefügt! (DS) ---

also ich könnte jetzt die beschränktheit von Wn beweisen:

lim Wn= w für alle N € $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass
|Wn-w|< 1 für alle n >gleich N.

=>|Wn|<gleich|w|+|Wn-w|<gleich |w| +1 für n>gleich N

jetzt kommt unser M: = max(|w0|,|w1|,...,|wN-1|,|w|+1)
somit ist |an|<gleich M

--- Mehrfachpost zusammengefügt! (DS) ---

also ich kann doch jetzt auch sagen das Zn= z ist oder ???

--- Mehrfachpost zusammengefügt! (DS) ---

wenn das geht, dann steht da jetzt:

|z*w-0|=|z|*|w|<gleich M |z|

wir wissen ja das Zn eine nullfolge ist, d.h. Zn=0

also steht da jetzt |0*w-0|=|0|*|w|<gleich M |0|

ist das jetzt richtig so

--- Mehrfachpost zusammengefügt! (DS) ---

bekomme ich keine antworten mehr

13.11.2008, 23:01

supeeer

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hallo energyfull,

also ich denke mal schon das das richtig ist kommt da jetzt

|0|=|0|*|0| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ M |0|

also kommt da als ergebnis 0

aber bin da nicht 100% sicher

13.11.2008, 23:44

energyfull

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ist das jetzt richtig???

--- Mehrfachpost zusammengefügt! (DS) ---

$\begin{eqnarray*} \leq \frac{epsilon}{1+|K|} \end{eqnarray*}$

aslso nach erneuter übrlgeung bin ich zum entschluss gekommen das das irgendwie nicht stimmt.

als Z_n ist nullfolge
W_n ist beschränkt
Und Z_n W_n soll auch eine nullfolge sein

beweis

sei epsilon > 0 beliebig hewählt , epsilon $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1

da Z_n ->0, W_n -> ein K existiert

also N $\begin{eqnarray*} \frac{epsilon}{1+|K|} , M \frac{epsilon}{1+|K|} \end{eqnarray*}$ so das für n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ N $\begin{eqnarray*} \frac{epsilon}{1+|K|} \end{eqnarray*}$ : |Z_n| $\begin{eqnarray*} \leq \frac{epsilon}{1+|K|} \end{eqnarray*}$

und für K $\begin{eqnarray*} \geq M \frac{epsilon}{1+|K|} \end{eqnarray*}$ |W_n -K|

und dann so weiter

--- Mehrfachpost zusammengefügt! (DS) ---

das ober mit dem epsilon sollte nach unten nach W_n -K

14.11.2008, 09:13

Dual Space

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Hör doch mal auf mit dir selbst zu reden. Kein Wunder, dass sich keiner in deinen Monolog einmischen will.

Außerdem musst du dich bemühen korrekter zu arbeiten!

Da du meine Tipps nicht verstehst, und nicht in der Lage bist das letzte kleine STück selber zu gehen poste ich dir jetzt die Lösung - in der Hoffnung, dass du dir das jetzt genau anschaust und daraus lernst.

Nach Voraussetzung ist die Folge $\begin{eqnarray*} (z_n)\subset\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge, dass heißt für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt es eine Zahl $\begin{eqnarray*} N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} |z_n-0|=|z_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ und zwar für alle $\begin{eqnarray*} n>N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ .

Desweiteren wissen wir, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (w_n)\subset\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Demnach existiert eine positive Zahl $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} |w_n|\leq M \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Nun wollen wir zeigen, dass unter diesen Voraussetzungen die Folge $\begin{eqnarray*} h_n:=z_n\cdot w_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist. Also

*gelöscht, weil ich mich allein veralbern kann*

und damit ist der Beweis vollständig.

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@energyfull: Was spielst du hier für ein dummes Spiel? Du und supeeer habt die gleichen IP-Adressen, woraus ich schließe, dass du hinter beiden Nicks steckst. böse

Was soll das?

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