Allgemeine Fragen zur Symmetrie

27.08.2006, 14:52

Delryn

Allgemeine Fragen zur Symmetrie

Ich bin es wiedereinmal Augenzwinkern

. Ich soll bei vorgegebenen Funktionen prüfen ob eine Symmetrie vorliegt. Dabei hatte ich mich immer an 2 Faustregeln orientiert, entweder stumpf schauen ob alle Exponenten gerade/ungerade/gemischt sind oder direkt mit f(-x) = -f(x) usw. beweisen.

Jetzt sind da ein paar Funktionen wo das so irgendwie nicht hinhaut verwirrt

1.)
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Gerader und ungerader Exponent? Keine Symmetrie vorhanden. Doch wenn man zeichnet ist diese Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.
Überprüft man dies mit f(-x) = -f(x) stimmt das auch:

$\begin{eqnarray*} f(-x) =\frac{-x}{1+(-x)^2} = \frac{-x}{1+x^2} = -\frac{x}{1+x^2}= -f(x) \end{eqnarray*}$

Wieso darf man nicht einfach sagen "es gibt nicht nur gerade/ungerade Exponenten, diese Funktion hat keine Symmetrie"??

2.)
$\begin{eqnarray*} x*\sqrt{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Diese Funktion soll ebenfalls punktsymmetrisch sein, obwohl es doch wieder gerade und ungerade Exponenten gibt. Wenn ich das wieder mit f(-x) = -f(x) zeigen will erhalte ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} f(-x) = -x*\sqrt{1+(-x)^2} = -x*\sqrt{1+x^2} = -(x*\sqrt{1+x^2}) = -f(x) \end{eqnarray*}$

Soweit stimmts... aber wenn man die Ursprüngliche Funktion umformt und das x unter die Wurzel bringt

$\begin{eqnarray*} x*\sqrt{1+x^2} = \sqrt{ x^2*(1+x^2)} = \sqrt{ x^2+x^4} \end{eqnarray*}$

erhalte ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} f(-x) = \sqrt{(-x)^2+(-x)^4} = \sqrt{x^2+x^4} != -f(x) \end{eqnarray*}$

Hä Hammer

!? Ich schnall's nicht.

3.)
Wieso ist cos x y-achsensymmetrisch? Warum darf man hier nicht sagen "cos x^1" = punktsymmetrisch da ungerade Exponent?!

Danke für eure Bemühungen smile

27.08.2006, 14:57

Bjoern1982

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Hallo

Die Argumentation mit geraden bzw ungeraden Exponenten gilt nur für ganzrationale Funktionen.

Gruß Björn

27.08.2006, 15:00

Delryn

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Hallo

Die Argumentation mit geraden bzw ungeraden Exponenten gilt nur für ganzrationale Funktionen.

Gruß Björn

? Wieso befinden sich solche Aufgaben in meinem Buch (Hahn/Dzewas Analysis Grundkurs Gesamtausgabe) unter dem Kapitel "Ganzrationale Funktionen" ?

Das wird erst breit und fett erklärt wie das geht und dann kommen solche Funktionen wo man selbst die Symmetrie beweisen soll.

Dämlicher Buchaufbau.

27.08.2006, 15:15

Calvin

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Und was die Frage zur zweiten Funktion angeht: du kriegst zwei verschiedene Symmetrien, weil du zwei verschiedene Funktionen hast Augenzwinkern

Beim Quadrieren und Wurzel ziehen muss man immer ein bißchen aufpassen.

Einfaches Beispiel: Wenn du die Zahl -2 quadrierst und dann die Wurzel ziehst, kriegst du nicht mehr -2, sondern 2 raus.

Und hier noch die Funktionen gezeichnet:

27.08.2006, 15:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Die Argumentation mit geraden bzw ungeraden Exponenten gilt nur für ganzrationale Funktionen.

Mit einer Erweiterung für gebrochen rationale Funktionen:
Sind Zähler und Nenner beide gerade bzw. ungerade, dann ist die Funktion gerade.
Ist einer von beiden gerade und der andere ungerade, dann ist die Funktion ungerade.

Analoges gilt natürlich für das Produkt von geraden und ungeraden Funktionen.

27.08.2006, 15:18

Delryn

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Hm stimmt...

aberrrr Augenzwinkern

ist doch ganzrational oder nicht? Wieso gilt dann hier nicht die "gerade ungerade"-Regelung? Denn laut dieser dürfte diese Funktion gar nicht symmetrisch sein.

27.08.2006, 15:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von Delryn
aberrrr Augenzwinkern

ist doch ganzrational oder nicht?

Nein. Alles andere siehe meinen Beitrag vorher.

27.08.2006, 15:25

Delryn

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Delryn
aberrrr Augenzwinkern

ist doch ganzrational oder nicht?

Nein. Alles andere siehe meinen Beitrag vorher.

Okay dann hab ich eine ganz dumme Frage, da ich mit den Definitionen aus dem Buch nicht ganz klar komme:

Wann ist eine Funktion Ganzrational, wann rational und wann gebrochen rational?

27.08.2006, 15:29

klarsoweit

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Eine Funktion der Form
$\begin{eqnarray*} f(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + ... + a_0 \end{eqnarray*}$ nennt man ganzrational (oder möglicherweise auch nur rational). (Hoffentlich stimmt das jetzt. Augenzwinkern

)

Eine Funktion der Form
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} \end{eqnarray*}$ , wobei p und q ganzrationale Funktionen, nennt man gebrochen rational.

27.08.2006, 18:31

system-agent

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ich kenn rationale funktionen als funktionen, bei denen lediglich potenzen der unbekannten vorkommen, das schließt die polynome $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i\cdot x^{i} \end{eqnarray*}$ und gebrochene funktionen $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \end{eqnarray*}$ (natürlich $\begin{eqnarray*} Q(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , P und Q sind polynome) mit ein.

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