Extremwertproblme

27.08.2006, 17:36

Holly123

Extremwertproblme

hallo hoffe einer von euch kann mir bei folgender aufgabe helfen:

welche oben offene Schachtel in der Form einer quadratischen Säule hat bei gegebennem Oberflächeninhalt 3dm² ein möglischst großes Fassungsvermögen?

FAlls die Schachtel anstatt nach oben nach vorn geöffnet ist in welchem Verhältnis stehen jetzt Höhe und Breite der quadratischen Säule?

bitte antwortet schnell danke

27.08.2006, 18:04

klarsoweit

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RE: Extremwertproblme
Keine eigenen Ideen?
Stelle erstmal Formeln für Volumen und Oberfläche auf.

27.08.2006, 18:04

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Erstmal passende Größen einführen:

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ... Quadratseitenlänge der Grundfläche
$\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ... Höhe der Säule
$\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ... Volumen der Säule
$\begin{eqnarray*} A_o \end{eqnarray*}$ ... Oberflächeninhalt der Säule (unter Beachtung der "offenen" Seiten)

Sowohl für $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ also auch $\begin{eqnarray*} A_o \end{eqnarray*}$ kannst du Formeln in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a,h \end{eqnarray*}$ aufstellen. Da $\begin{eqnarray*} A_o \end{eqnarray*}$ gegeben ist, stellst du dann zweckmäßig diese $\begin{eqnarray*} A_o \end{eqnarray*}$ -Formel nach $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ um und setzt dieses $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ in die Volumenformel ein, damit hast du die Höhe als Parameter der Volumenformel eliminiert.

Es verbleibt eine Volumenmaximierung der Funktion $\begin{eqnarray*} V=V(a) \end{eqnarray*}$ mit den üblichen Mitteln (Ableitung Null setzen usw.).

27.08.2006, 18:04

sqrt4

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Versuche den Oberflächeninhalt mit Variablen (z.B. a und h) für die Quadratseite und die Höhe darzustellen. Das gleiche machst du mit dem Volumen.

edit: Tja da war wohl jemand schneller als ich :-)
-gleiche Variablen- Interessant

27.08.2006, 19:10

Holly123

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danke für eure antwort hab jetzt die oberfläche nach h umgestellt das ist dann h =3-a²/4a

das setzt ich dann ein V=a²*3-a² /4a ist das soweit richtig?

27.08.2006, 19:33

sqrt4

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Klammern wären nicht schlecht weil so ist es falsch.
richtig ist:
$\begin{eqnarray*} h=\frac{3-a^2}{4a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=a^2 \cdot \frac{3-a^2}{4a} \end{eqnarray*}$

Wie machst du jetzt weiter?

27.08.2006, 20:11

Holly123

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erstmal kürzen und dann weiter ausrechnen keine ahnung ob das stimmt hab am ende 4a²-12-4a raus und dann muss ich notwendige und hinreichende bedingung bestimmen

27.08.2006, 20:19

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Zitat:

Original von Holly123
hab am ende 4a²-12-4a raus

Das ist ein Term. Was für ein Term?

Zitat:

Original von Holly123
und dann muss ich notwendige und hinreichende bedingung bestimmen

"bestimmen" ? Eher "anwenden" !

27.08.2006, 20:25

Holly123

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stimmt den 4a²-12-4a???

27.08.2006, 20:26

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Stimmt wofür? Ist das die Ableitung, oder wie, oder was...

27.08.2006, 20:33

Holly123

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wenn h in die volumengleichung einsetzte hab ich h=a²*3-a/4 raus und keine ahnung ob das stimmt aber wenn ich weiter rechne bekomm ich 4a-12-4a

27.08.2006, 20:52

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Du setzt nach wie vor keine Klammern (siehe Hinweis von sqrt4), du erklärst nicht, was dieser Term sein soll (Volumen?) - eine Unterhaltung mit dir ist schwierig.

27.08.2006, 21:03

sqrt4

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So um das nochmal etwas übersichtlicher zu gestalten:

$\begin{eqnarray*} V=a^2 \cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h= \frac{3-a^2}{4a} \end{eqnarray*}$

Dann setzt du das h ein und es bleibt folgendes stehen:

$\begin{eqnarray*} V(a)=a^2 \cdot \frac{3-a^2}{4a} \end{eqnarray*}$

Kommst du auch zu diesem Ergebnis?

Dann kann man kürzen :

$\begin{eqnarray*} V(a)=\frac{1}{4}(3a-a^3) \end{eqnarray*}$

Also selbst wenn das was du herausgebracht hast die Ableitung sein sollte wäre diese trotzdem falsch.

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