Binomischer Lehrsatz

02.06.2004, 15:08

jama

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Binomischer Lehrsatz

Wie man induktiv die Koeffizienten beim Großen Binomischen Lehrsatz erhält, erfährst Du in dieser PDF Datei: Klick Hier

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Gruß,

Jama

02.06.2004, 15:14

m00xi

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Also ich habe mir das anders klar gemacht:
Ich habe mir gedacht, ich habe eine Reihe von (a+b)'s.
$\begin{align*} (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)..... \end{align*}$ .
Wie man das so vom ausmultiplizieren kennt, muss man sich in jeder Klammer für einen summanden entscheiden, mit dem man multiplizieren will. Der binomische Lehrsatz läuft von 0 bis n, wobei der aktuelle Durchlauf immer angibt, bei wie vielen der Klammern wir ein b wählen wollen. Und dafür gibt es genau n über i möglichkeiten. Man kann es sich so denken, als wäre jede Klammer eine Position und wir ziehen nun i aus n möglichen Positionen, das kommt aufs Gleiche raus. So kann man sich den Bin. Lehrsatz eigenltich sehr schnell und einfach klar machen.

02.06.2004, 17:16

Mathespezialschüler

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@m00xi
So einen ähnlichen bzw. fast den gleichen Beweis habe ich auch gefunden, allerdings ein wenig schwieriger erklärt. Den verstehe ich noch nicht 100%. Deswegen poste ich ihn einfach mal:

Zitat:

Zum Beweis von Satz 8 überlegen wir uns, wie oft der Summand $\begin{align*} a^{n-k}\ \cdot\ b^k\ (0\ \leq\ k\ \leq\ n) \end{align*}$ entstehen kann. Er wird gebildet, indem von den n Faktoren (a + b) genau k Klammern die Zahlb und die übrigen Klammern die Zahl a liefern. Da beim Ausmultiplizieren von $\begin{align*} (a\ +\ b)^n \end{align*}$ alle Kombinationen der Zahlen a und b in den Klammern auftreten, liefert jede Teilmenge vonk Klammern einen Summanden $\begin{align*} a^{n-k}\ \cdot\ b^k \end{align*}$ und umgekehrt, da man gerade aus den zu einer solchen Teilmenge gehörenden Klammern die Faktoren b auswählen kann. Die Anzahl dieser Teilmengen ist aber gleich $\begin{align*} \(\array{n\\k}\) \end{align*}$ , dem entsprechenden Binomialkoeffizienten.
Zur Veranschaulichung betrachten wir den Fall n = 3 :

(a + b)³ = (a + b)*(a + b)*(a + b)

(a + b)*(a + b)*(a + b) ---------|--> = 1*a³

(a + b)*(a + b)*(a + b) ---------|
(a + b)*(a + b)*(a + b) ---------|--> + 3*a²b
(a + b)*(a + b)*(a + b) ---------|

(a + b)*(a + b)*(a + b) ---------|
(a + b)*(a + b)*(a + b) ---------|--> + 3*ab²
(a + b)*(a + b)*(a + b) ---------|

(a + b)*(a + b)*(a + b) ---------|--> + 1*b³

Also, wie gesagt, einen Teil verstehe ich noch nicht. Die Veranschaulichung macht einiges klar, aber ab folgendem Punkt komme ich nich ganz mit:
"...liefert jede Teilmenge von [I]k Klammern..."

Wär nett, wenn mir das jemand erklären könnte, was das, was danach gesagt wird, genau bedeutet.
Danke!

02.06.2004, 17:41

m00xi

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Hi MSS.
Das ist genau das gleiche, was ich gesagt habe. Sagen wir, wir benennen jede Klammer mit einer Zahl. Eben von 1 bis n. Wir müssen uns bei jedem ausmultiplizieren bei jeder Klammer 1-n für a oder b entscheiden. Eine x-Teilmenge bedeuett dann, dass wir uns beim Ausmultiplizieren x mal für b entschieden haben. Wenn da jetzt steht, wir suchen alle k-Teilmengen die dann den Ausdruck $\begin{align*} a^{n-k}b^k \end{align*}$ bilden, dann heißt das, dass es genau so viele Möglichkeiten zum Bilden von $\begin{align*} a^{n-k}b^k \end{align*}$ gibt, wie es k-Teilmengen von $\begin{align*} [n] \end{align*}$ gibt. Und diese Teilmengen ( Ungeordnetes Ziehen ohne Zurücklegen ) wird ja bekanntlich durch die Binomialkoeffizienten beschrieben. Jetzt klar?

02.06.2004, 18:05

Mathespezialschüler

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Das mit den Teilmenge verstehe ich noch nich. Binomialkoeffizienten kenn ich, aber sowas anzuwenden, also irgendwas mit/ohne zurücklegen habe ich noch nie gemacht. Kannst das vielleicht noch erklären? Und was sind denn k-Teilmengen von [n]?? Die Teilmengen verwirren mich.

02.06.2004, 18:13

m00xi

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Was eine Teilmenge ist, das weißt du ja sicherlich. Eine K-Teilmenge ist eine Teilmenge von einer anderen Menge mit genau k Elementen, d.h. der Kardinalität k. Tut mir leid, ich muss jetzt zum Badminton, schreib mir ne Mail, dann erklär ichs dir nochmal. [email protected]

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02.06.2004, 21:41

Mathespezialschüler

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RE: Binomischer Lehrsatz

Zitat:

Original von jama
Wie man induktiv die Koeffizienten beim Großen Binomischen Lehrsatz erhält, erfährst Du in dieser PDF Datei: <a href="http://www.matheboard.de/help/lineare algebra/Binomischer_Lehrsatz.pdf"><font color="ffffff">Klick Hier</font></a>
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Gruß,
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Jama

Das Klick hier geht bei mir nich traurig

traurig

02.06.2004, 21:44

m00xi

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Woran hapert es denn noch? ICh verstehe es nicht? Immernoch an den Teilmengen?

02.06.2004, 21:45

Mathespezialschüler

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Ja, das mit den k-Teilmengen von n irgendwie. Hast mal n Beispiel für sowas?

02.06.2004, 21:51

m00xi

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z.B. für n=5. Dann hast du
$\begin{align*} (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) \end{align*}$ .
Du sollst nun bestimmen wie hoch der Koeffizient von $\begin{align*} a^2b^3 \end{align*}$ ist.
Damit weißt du, dass insgesamt aus der Menge der 5 "Positionen" ( die Klammern ) 3 ausgewählt wurden, um b zu wählen. Dafür gibt es dann 5 über 3 Möglichkeiten, diese 3 Klammern auszuwählen. Die Positionen der 3 Klammern sind eine 3-Teilmenge von der Menge [1;5]. Eigentlich müsstest du nun noch mit 2 über 2 multiplizieren, da du ja noch die Möglichkeiten bestimmen musst, die 2 a's aus den beiden Klammern auszuwählen. Da dies aber sowieso 1 gibt, ist es irrelevant.
Wenn du wissen willst, ob du'S kapiert hast, kannst du ja mal das Probieren:
Bestimmen Sie den Koeffizienten von $\begin{align*} ab^3c^3d^8 \end{align*}$ aus $\begin{align*} (a+b+c+d+e)^{15} \end{align*}$ .

02.06.2004, 22:11

Mathespezialschüler

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900900 vielleicht???

02.06.2004, 22:15

m00xi

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Ganz genau :-) Hast du es verstanden?

02.06.2004, 22:28

Mathespezialschüler

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Ja, denke schon. Nur als kritischer Mensch könnte ich ja jetzt fragen: Warum ist das genau der Binomialkoeffizient, diese Kombination bzw. warum gilt für Kombinationen allgemein der Binomialkoeffizient?? (Beweis) Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.06.2004, 22:41

m00xi

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Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl verschiedener ungeordneter k-Teilmengen einer Menge n an. Dies kann man leicht beweisen: Oben im Zähler steht die fallende Faktorielle n der Länge k, d.h. am Anfang kann man noch zwischen n Elementen für die Tielmenge wählen, dann aus n-1, dann aus n-2, ... und letztenendes n-k+1. Das Ganze muss dann noch durch die Permutationszahl geteilt werden und schwups haben wir die Anzahl aller k-Elementigen Teilmengne. Wo liegt das Problem?

02.06.2004, 23:33

Mathespezialschüler

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Sowas kann ich sowieso noch nich. Aber das hört sich auch schon fast wieder n bisl nach "das is einfach nur logisch" an. Denn mir is klar, wie viele Elemente ich jeweils noch zur Auswahl habe, aber ob das n Beweis is. verwirrt

verwirrt

Is aber auch egal!!

03.06.2004, 00:56

Ben Sisko

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Ja, es soll auch Beweise geben, die einfach nur logisch argumentieren, ohne das übliche mathematische Brimborium Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.06.2004, 06:21

m00xi

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Naja, Logik hin oder her, irgendwann muss man dann ja mal auf die Binomialkoeffizienten zu sprechen kommen und dann wird es doch zwangläufig mathematischer? verwirrt

verwirrt

03.06.2004, 10:41

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von m00xi
Naja, Logik hin oder her, irgendwann muss man dann ja mal auf die Binomialkoeffizienten zu sprechen kommen und dann wird es doch zwangläufig mathematischer? verwirrt

verwirrt

Hääää

verwirrt

Wie meinst das denn jetzt?

03.06.2004, 11:16

schmendrig

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naja, mir fällt grad ein, dass man die Koeffizeinten nicht nbedingt über den Binomischen Satz berechnen muss. Man kann sich auch schnell das Pascalsche Dreieck aufmalen und hat dann alle Zahlen.

03.06.2004, 11:19

Mathespezialschüler

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Jaja, das is mir schon klar. Nur dann müsste man erstmal das Pascalsche Dreieck beweisen.

03.06.2004, 11:22

schmendrig

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Tja, das geht leider wieder über Binomailkoeffizeinten. Aber lass mir nochmal übers WE zeit, dann hab ich in den Unterlagen von meinem Dozent sicher den Beweis gefunden! Sowohl für den binomischen Lehrsatz also auch das Pascalsche dreieck.

03.06.2004, 11:30

Mathespezialschüler

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Das Pascalsche Dreieck folgt ja aus dem binomischen Lehrsatz *g*

03.06.2004, 11:35

Ben Sisko

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Was wollt ihr überhaupt beweisen? Den binomischen Satz?

Das Bildungsgesetz des Pascalschen Dreiecks entspricht der folgenden Eigenschaft der Binomialkoeffizienten:

$\begin{align*} \(\array{n\\k}\)+\(\array{n\\k+1}\)=\(\array{n+1\\k+1}\) \end{align*}$

03.06.2004, 11:37

Mathespezialschüler

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Ja, das is mir auch klar, aber das Problem ist ja, zu beweisen, dass genau dieses Bildungsgesetz für die Koeffizienten gilt bzw. dass das Pascalsche Dreieck für die Koeffizienten gilt.

03.06.2004, 11:43

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

Das die Binomialkoeffizienten für die Koeffizienten gelten, habt ihr doch oben schon geklärt (da sie ja die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge angeben).

03.06.2004, 11:55

Mathespezialschüler

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Ja, das war ja auch schon ein Beweis. Insofern habe ich mich falsch ausgedrückt, denn es gibt eigentlich gar kein Problem mehr, aber schmendrig hat das Thema ja nochmal aufgegriffen.

03.06.2004, 12:41

schmendrig

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ok, dann lass ich das lieber. dachte nur beim durchlesen es wären noch immer fragen offen!

03.06.2004, 16:03

Mathespezialschüler

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Deakandy hat ja in seinem Workshop vollständige Induktion den binomischen Lehrsatz bewiesen, aber den Beweis versteh ich noch nich ganz, vor allem wegen der indexverschiebung. Da habe ich mir überlegt, es ohne Summenzeichen zu versuchen und selbst auf den Beweis zu kommen, eigentlich ist es auch nur eine Verallgemeinerung von dem, was m00xi schon gemacht hat, aber ich nen Lösungsvorschlag. Als ich es dann mit Deakandys verglichen habe, sah der Anfang ziemlich gleich aus, aber wie gesagt, das Ende versteh ich nich. Hier ist mal mein Beweis:

Zu beweisen ist:

$\begin{align*} (a+b)^n\ =\ \Bigsum_{k=0}^n~{\(\array{n\\k}\)a^{n-k}b^k\ =\ \(\array{n\\0}\) a^n\ +\ \(\array{n\\1}\)a^{n-1}b\ +\ ...\ +\ \(\array{n\\n-1}\)ab^{n-1}\ +\ \(\array{n\\n}\)b^n \end{align*}$

Induktionsanfang 0:

$\begin{align*} (a+b)^0\ =\ 1\ =\ \Bigsum_{k=0}^0~{\(\array{0\\k}\)a^{0-k}b^k\ =\ \(\array{0\\0}\)a^0b^0 \end{align*}$

Induktionsschluss auf (n+1):

$\begin{align*} (a+b)^{n+1}\ =\ (a+b)^n(a+b) \end{align*}$

Jetzt die Induktionsvoraussetzung (Behauptung) für n einsetzen:

$\begin{align*} =\ \Bigsum_{k=0}^n~{\(\array{n\\k}\)a^{n-k}b^k\ \cdot \ (a+b) =\ \[\ \(\array{n\\0}\) a^n\ +\ \(\array{n\\1}\)a^{n-1}b\ +\ ...\ +\ \(\array{n\\n-1}\)ab^{n-1}\ +\ \(\array{n\\n}\)b^n\ \]\ \cdot\ (a+b) \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \(\array{n\\0}\) a^{n+1}\ +\ \(\array{n\\1}\)a^nb\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \(\array{n\\2}\)a^{n-1}b^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ ...\ +\ \(\array{n\\n-1}\)a^2b^{n-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ (\array{n\\n}\)ab^n\ \end{align*}$

$\begin{align*} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \(\array{n\\0}\) a^nb\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \(\array{n\\1}\)a^{n-1}b^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ ...\ +\ \(\array{n\\n-2}\)a^2b^{n-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \(\array{n\\n-1}\)ab^n\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \(\array{n\\n}\)b^{n+1} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \(\array{n\\0}\) a^{n+1}\ +\ \[\(\array{n\\1}\)\ +\ \(\array{n\\0}\)\]a^nb\ +\ [\(\array{n\\2}\)\ +\ (\array{n\\1}\)]a^{n-1}b^2\ +\ ...\ +\ [\(\array{n\\n-1}\)\ +\ \(\array{n\\n-2}\)]a^2b^{n-1}\ +\ [\(\array{n\\n}\)\ +\ \(\array{n\\n-1}\)]ab^n\ +\ \(\array{n\\n}\)b^{n+1} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \(\array{n\\0}\) a^{n+1}\ +\ \(\array{n+1\\1}\)a^nb\ +\ \(\array{n+1\\2}\)a^{n-1}b^2\ +\ ...\ +\ \(\array{n+1\\n-1}\)a^2b^{n-1}\ +\ \(\array{n+1\\n}\)ab^n\ +\ \(\array{n\\n}\)b^{n+1} \end{align*}$

Wegen

$\begin{align*} \(\array{n\\0}\)\ =\ 1\ =\ \(\array{n+1\\0}\) \end{align*}$

und

$\begin{align*} \(\array{n\\n}\)\ =\ 1\ =\ \(\array{n+1\\n+1}\) \end{align*}$

folgt

$\begin{align*} (a+b)^{n+1}\ =\ \(\array{n+1\\0}\) a^{n+1}\ +\ \(\array{n+1\\1}\)a^nb\ +\ \(\array{n+1\\2}\)a^{n-1}b^2\ +\ ...\ +\ \(\array{n+1\\n-1}\)a^2b^{n-1}\ +\ \(\array{n+1\\n}\)ab^n\ +\ \(\array{n+1\\n+1}\)b^{n+1} \end{align*}$

Jetzt ist es bewiesen. Um das noch klarer darzustellen, substituiere ich

$\begin{align*} (n+1)\ =\ z \end{align*}$

Dann gilt

$\begin{align*} (a+b)^{z}\ =\ \(\array{z\\0}\) a^{z}\ +\ \(\array{z\\1}\)a^{z-1}b\ +\ \(\array{z\\2}\)a^{z-2}b^2\ +\ ...\ +\ \(\array{z\\z-2}\)a^2b^{z-2}\ +\ \(\array{z\\z-1}\)ab^{z-1}\ +\ \(\array{z\\z}\)b^{z} \end{align*}$

Jetzt habe ich das mt vollständiger Induktion bewiesen. Denkt ihr, das ist richtig so oder ist das nicht detailgetreu genug (z. B. Ausmultplizieren) ???

Danke für die Antworten!!! :] Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.06.2004, 16:19

m00xi

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Hmm so ganz blicke ich da icht durch, wie du bei deinem Induktionsschritt die Klammer ausmultiplizierst. Welches Muster steckt dahinter? Bisher sieht es für mich so aus, als seie
$\begin{align*} \(\(\array{n\\0}\)a^n\)(a+b) \end{align*}$ bei deinem auflösen
$\begin{align*} \(\array{n\\0}\)a^{n+1}+\(\array{n\\1}\)a^nb \end{align*}$
Ist das so gemeint? Das wäre ja nicht richtig. ICh glaube zwar, dass du schon alles richtig gemacht hast, aber ich wär einfach interessiert zu wissen wie du die Klammer aufgelöst hast, weil mir das irgendwie nicht klar wird.

Gruß
Hanno

03.06.2004, 22:06

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Jetzt die Induktionsvoraussetzung (Behauptung) für n einsetzen:

$\begin{align*} =\ \Bigsum_{k=0}^n~{\(\array{n\\k}\)a^kb^{n-k}\ \cdot \ (a+b) =\ \[\ \(\array{n\\0}\) a^n\ +\ \(\array{n\\1}\)a^{n-1}b\ +\ ...\ +\ \(\array{n\\n-1}\)ab^{n-1}\ +\ \(\array{n\\n}\)b^n\ \]\ \cdot\ (a+b) \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \(\array{n\\0}\) a^{n+1}\ +\ \(\array{n\\1}\)a^nb\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \(\array{n\\2}\)a^{n-1}b^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ ...\ +\ \(\array{n\\n-1}\)a^2b^{n-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ (\array{n\\n}\)ab^n\ \end{align*}$

$\begin{align*} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \(\array{n\\0}\) a^nb\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \(\array{n\\1}\)a^{n-1}b^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ ...\ +\ \(\array{n\\n-2}\)a^2b^{n-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \(\array{n\\n-1}\)ab^n\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \(\array{n\\n}\)b^{n+1} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \(\array{n\\0}\) a^{n+1}\ +\ \[\(\array{n\\1}\)\ +\ \(\array{n\\0}\)\]a^nb\ +\ [\(\array{n\\2}\)\ +\ (\array{n\\1}\)]a^{n-1}b^2\ +\ ...\ +\ [\(\array{n\\n-1}\)\ +\ \(\array{n\\n-2}\)]a^2b^{n-1}\ +\ [\(\array{n\\n}\)\ +\ \(\array{n\\n-1}\)]ab^n\ +\ \(\array{n\\n}\)b^{n+1} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \(\array{n\\0}\) a^{n+1}\ +\ \(\array{n+1\\1}\)a^nb\ +\ \(\array{n+1\\2}\)a^{n-1}b^2\ +\ ...\ +\ \(\array{n+1\\n-1}\)a^2b^{n-1}\ +\ \(\array{n+1\\n}\)ab^n\ +\ \(\array{n\\n}\)b^{n+1} \end{align*}$

System: Die obere Zeile sind die Summanden der Klammer jeweils mit a multipliziert, die in der zweiten unteren Zeile sind die Summanden der Klammer mit b multipliziert. Dann habe ich bei den untereinander stehenden Summanden mit gleichen Faktoren a^(n-k)b^k (deswegen habe ich sie untereinander geschrieben) den Faktor jeweils ausgeklammert und nach der Rechenregel für Binomialkoeffizienten die Koeffizienten errechnet.
Hast du das jetzt verstanden??

03.06.2004, 22:58

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist richtig. Die Form ist eigentlich auch OK. Natürlich benutzt du bei der Umformung die oben angegebene Eigenschaft der Binomialkoeffizienten. Wenn du auf die zurückgreifen kannst, OK, ansonsten müsstest du die halt auch noch zeigen, denn das ist ja nicht trivial.

Gruß vom Ben

03.06.2004, 23:42

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst

$\begin{align*} \(\array{n\\k}\)\ +\ \(\array{n\\k+1}\)\ =\ \(\array{n+1\\k+1}\) \end{align*}$

oder??
Ich hatte vor einiger Zeit dazu mal nen Thread gelesen, da wurde das auch erfragt. Die ganze Lösung war zwar nicht dabei,
aber zumindest ein Teil. Ich kann den Beweis ja mal versuchen:

$\begin{align*} \(\array{n\\k}\)\ +\ \(\array{n\\k+1}\)\ :=\ \frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}\ +\ \frac{n(n-1)(n-2)...(n-(k+1)+2)(n-(k+1)+1)}{(k+1)!} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(k+1)}{k!(k+1)}\ +\ \frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)}{(k+1)!} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(k+1)}{(k+1)!}\ +\ \frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)}{(k+1)!} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(k+1)\ +\ n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)}{(k+1)!} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)\ \((k+1)\ +\ (n-k)\)}{(k+1)!} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)\ \(n\ +\ 1\)}{(k+1)!} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)...(n-k+1\ +1-1)}{(k+1)!} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)...(n+1-k-1+1)}{(k+1)!} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)...\((n+1)-(k+1)\ +1\)}{(k+1)!} \end{align*}$

$\begin{align*} :=\ \(\array{n+1\\k+1}\) \end{align*}$

q.e.d.

Cool, ich habs hinbekommen, na dann wär das ja auch geklärt. smile

smile

04.06.2004, 06:39

m00xi

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@MSS: Ja@ verstanden, ich wusste nur nicht, wie du deine Klammer aufgelöst hast. Danke!

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