Sinn und Zweck von "Vollständige Induktion"?

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KarenI Auf diesen Beitrag antworten »
Sinn und Zweck von "Vollständige Induktion"?
Hallo,

auch wenn ich jetzt einige Mathematiker verärgere, verstehe ich den Sinn und Zweck dieser Beweismethode nicht.

Ok, das Prinzip ist das umfallen der Domino-Steine.

Anhand der Summenformel haben wir das erklärt bekommen.
Wenn n=1, das folgt auch n =n+1.

In den anderen Aufgaben, die wir gemacht hatten war auch alles OK.

Deswegen stellt sich mir die Frage: Wozu das ganze?

Wäre dankbar, wenn mir den Sinn und Zweck jemand mal genau erklären könnte, am besten auch anhand eines Beispiels.

Vielen Dank im Voraus.

Liebe Grüße
Karen
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

sinn und zweck der VI ist, dass man damit recht elegant zb. die summenformel beweisen kann.
diese formel einfach hinzuschreiben ist schön und recht, aber behaupten kann man vieles. ich kann auch behaupten, dass die summenformel eigentlich sei.
wenn man das allerdings beweisen will, sieht man sofort, dass ich einen bockmist erzählt habe.

Zitat:
Wenn n=1, das folgt auch n =n+1.


das ist aber so nicht ganz richtig, man muss zeigen dass der induktionsschritt von n auf n+1 gelingt und wenn dann zusätzlich für ein n die richtigkeit nachgewiesen werden kann (also zb. das n=1) erst dann ist der beweis zu ende und komplett...
swerbe Auf diesen Beitrag antworten »

auch auf die Gefahr hin, mich jetzt unbeliebt zu machen, verweise ich einfach mal auf http://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion geschockt
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
auch wenn ich jetzt einige Mathematiker verärgere, verstehe ich den Sinn und Zweck dieser Beweismethode nicht.

wäre ja noch schöner, wenn das jemanden ärgern würde.

Aber die Aussage "ich verstehe den Zweck der Methode nicht" ist einfach sehr sehr komisch.
Was ist denn überhaupt der Sinn von "beweisen"?
Mach dir das mal klar, die vollständige Induktion ist einfach nur eines von vielen Beweisverfahren, und Beweisverfahren haben immer den gleichen Zweck.

Beweisen macht aus etwas, von dem man DENKT, dass es richtig ist, zu etwas, von dem man WEIß, dass es richtig ist.

Und das ist das Ziel jeder Beweismethode, also insbesondere auch DIESER.






edit: swerbe, die Fragestellerin hat doch schon genug Mathematiker "verärgert" und jetzt machste dich auch noch unbeliebt? tztztz

smile
KarenI Auf diesen Beitrag antworten »
:-)
Danke für Eure Antworten.

Ja, Wikipedia kenne ich bereits.

Ich hatte falsch aufgeschrieben, sorry, ja der Schluss von n auf n + 1 ist gemeint.

Das Problem, denke ich, das ich noch keine Aufgabe hatte, die gezeigt hatte, das sie falsch ist.

Werde da am Dienstag mal den Lehrer dazu befragen.

Dank' Euch.

Schönen Sonntag noch.

Liebe Grüße
Karen
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das Problem, denke ich, das ich noch keine Aufgabe hatte, die gezeigt hatte, das sie falsch ist.

kannst du diese Aussage noch mal genauer formulieren?
das was falsch ist? die zu "beweisende" Behauptung?? oder das Prinzip der vollständigen Induktion???

Oder was genau meinst du damit?
 
 
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Hier hast du die Aufgabe:
Zitat:
Original von system-agent
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
das was falsch ist? [...] das Prinzip der vollständigen Induktion???

Dürfte schwierig sein, da ein Gegenbeispiel zu finden, solange man nicht die Peano-Axiome in Frage stellt. Big Laugh
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Zitat:
Original von LOED
das was falsch ist? [...] das Prinzip der vollständigen Induktion???

Dürfte schwierig sein, da ein Gegenbeispiel zu finden, solange man nicht die Peano-Axiome in Frage stellt. Big Laugh

Darum ja auch die drei Fragezeichen, trotz des im deutschen Sprachgebrauchs unüblichen mehrfachen Satzzeichens.

Oder verstehst du die Frage? smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, meine hellseherischen Fähigkeiten lassen heute auch zu wünschen übrig.

P.S.: Und natürlich wollte ich deine drei Fragezeichen nur nochmal bekräftigen. Augenzwinkern
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nicht sicher, ob das dein Verständnisproblem ist, ich sag's aber in jedem Fall mal... Augenzwinkern

Der Witz des Induktionsprinzips ist, dass man dadurch die Aussage für alle natürlichen Zahlen gezeigt hat. Das ist natürlich besonders praktisch in solchen Situationen, wo es einem nicht mit anderen Methoden gelingt, die Aussage für alle natürlichen Zahlen zu zeigen. Die einzige Alternative wäre dann eben, zu zeigen, dass die Aussage für 1 gilt, dann dass die Aussage für 2 gilt, dann dass die Aussage für 3 gilt, dann dass die Aussage für 4 gilt, dann dass die Aussage für 5 gilt, dann dass die Aussage für 6 gilt, dann dass die Aussage für 7 gilt, dann dass die Aussage für 8 gilt, dann dass die Aussage für 9 gilt, dann dass die Aussage für 10 gilt, dann dass die Aussage für 11 gilt, dann dass die Aussage für 12 gilt, dann dass die Aussage für 13 gilt, dann dass die Aussage für 14 gilt...
Das wäre ganz schön langwierig, bestimmt auch langweilig und hätte den Nachteil, dass man nie fertig wird...

Gruß vom Ben
KarenI Auf diesen Beitrag antworten »
???
Zitat:
Original von LOED
Zitat:
Das Problem, denke ich, das ich noch keine Aufgabe hatte, die gezeigt hatte, das sie falsch ist.

kannst du diese Aussage noch mal genauer formulieren?
das was falsch ist? die zu "beweisende" Behauptung?? oder das Prinzip der vollständigen Induktion???

Oder was genau meinst du damit?


Was genau kann man an diesem einfachen Satz nicht verstehen? *verwundert schau*

Die VI ist eine Beweismethode, ob was richtig ist oder nicht.

So, wir hatten nur Aufgaben, bei denen n+1 stimmt.
Was mir gefehlt hatte ware eine Aufgabe, in der das nicht stimmt.
Wie z.B. die Aufgabe von Zahlentheorie.

Eigentlich ganz einfach.

Mittlerweile habe ich's auch verstanden. :-)

Dank Euch.

Liebe Grüße
Karen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KarenI
Die VI ist eine Beweismethode, ob was richtig ist oder nicht.

Unfug! Da hat entweder dein Lehrer Müll erzählt - oder viel wahrscheinlicher: Du hast es falsch verstanden.

Mit Vollständiger Induktion kann man eine für alle gültige Aussage beweisen.

Sollte diese Aussage aber falsch sein, dann zeigt man das durch Angabe mindestens eines Gegenbeispiels, d.h., man gibt ein an, so dass Aussage falsch ist, das ist keine Vollständige Induktion.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Behauptung: Es gibt ein , so dass .
Durch vollständige Induktion lässt sich nun zeigen, dass diese Aussage falsch ist Big Laugh
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ben Sisko
Durch vollständige Induktion lässt sich nun zeigen, dass diese Aussage falsch ist Big Laugh


bzw. spätestens wenn der schritt von n auf n+1 nicht gelingt oder eben man kein n_0 findet, für welches die aussage wahr ist. sozusagen merkt man, dass die behauptung falsch ist daran, dass die VI eben nicht gelingt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
bzw. spätestens wenn der schritt von n auf n+1 nicht gelingt [...] merkt man, dass die behauptung falsch ist daran, dass die VI eben nicht gelingt

Nur weil einem der Induktionsschritt nicht gelingen mag, heißt das noch lange nicht, dass die zu beweisende Aussage falsch ist. Ein Beispiel dafür habe ich hier (2.Beispiel unten) gebracht.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

danke, wieder was gelernt smile

aber du wirst nicht bestreiten können, dass wenn der induktionsschritt nicht gelingt erste zweifel angebracht sind Augenzwinkern
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Zitat:
Original von Ben Sisko
Durch vollständige Induktion lässt sich nun zeigen, dass diese Aussage falsch ist Big Laugh


bzw. spätestens wenn der schritt von n auf n+1 nicht gelingt oder eben man kein n_0 findet, für welches die aussage wahr ist. sozusagen merkt man, dass die behauptung falsch ist daran, dass die VI eben nicht gelingt


Ne, da musst du dir meine Aussage nochmal genauer anschauen. In diesem (natürlich sehr konstruierten) Fall kann man mit der VI zeigen, dass die Aussage nicht stimmt. Liegt aber einfach daran, dass man mit der VI eine Aussage zeigen kann, die meiner Aussage widerspricht.

Wollte nur zeigen, dass die VI theoretisch auch dazu dienen kann zu zeigen, dass eine Aussage nicht wahr ist.
KarenI Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur Dent
Zitat:
Original von Arthur Dent
Zitat:
Original von KarenI
Die VI ist eine Beweismethode, ob was richtig ist oder nicht.

Unfug! Da hat entweder dein Lehrer Müll erzählt - oder viel wahrscheinlicher: Du hast es falsch verstanden.

Mit Vollständiger Induktion kann man eine für alle gültige Aussage beweisen.

"eine gültige Aussage beweisen" das sie richtig ist oder nicht.

Ich glaube nicht, das ich meinen Lehrer falsch verstanden habe.
Die VI wird ja nur für natürliche Zahlen angewendet, das habe ich auch verstanden.

Übrigends, der Lehrer hat die Klausur gleich korrigiert und benotet: 2+.

Ich bin zufrieden.

Dank Euch.

Liebe Grüße
Karen
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