Gleichung mit Kreuzprodukten

13.11.2008, 13:56

Mathe-Anfänger

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Gleichung mit Kreuzprodukten

Hallo!

Ich soll folgende Gleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Dabei soll gelten:
a) $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ ist die Variable, und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ sind zwei Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ , also sozusagen Paramter.
b) $\begin{eqnarray*} \vec{u} \cdot \vec{v} \neq 0 \end{eqnarray*}$

Ich weiß prinzipiell wie ich das anstellen muss. Is halt ein Gleichungssystem. Dieses is halt rel. aufwendig finde ich. Gibt es da noch eine andere Möglichkeit, das schneller zu lösen? Wäre für Tipps und Antworten froh!

MfG

13.11.2008, 14:09

Mathe-Anfänger

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RE: Gleichung mit Kreuzprodukten
obwohl ich hab das gerade mal durchgerechnet, so aufwendig ist es gar nicht. stimmt das folgende:

$\begin{eqnarray*} w_1 = \frac{v_1}{v_2 }w_2 \end{eqnarray*}$ "und zugleich" $\begin{eqnarray*} w_1 = \frac{v_1}{v_3 }w_3 \end{eqnarray*}$

Weil ich bekomm, wenn ich die 3 Gleichungen mit dem Additionsverfahren löse 0=0 raus, daraus folgt doch dann, dass es "unendlich viele Lösungen" gibt, und zwar alle die, die die obigen Bedinungen erfüllen oder?

PS. noch was anderes: Die Dimension des Kerns der linearen Abbildung
$\begin{eqnarray*} F(w) = \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) \end{eqnarray*}$ ist dann 1 oder?

13.11.2008, 14:21

tmo

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Es gibt prinzipiell 2 Möglichkeiten, wie diese Gleichung erfüllt sein kann.

1. $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig.

2. $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \times \vec{w} \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig.

Nun ist da allerdings noch die Bedinung $\begin{eqnarray*} \vec{u} \cdot \vec{v} \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Die spielt da auch noch eine Rolle.

13.11.2008, 14:22

Mathe-Anfänger

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stimmt dann meine Lösung?

13.11.2008, 14:26

tmo

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Ohne überhaupt selbst nachzurechnen, kann man sagen, dass du das so nicht machen kannst, denn wer sagt dir, dass $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ nicht 0 sind?

13.11.2008, 14:33

Mathe-Anfänger

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Wie soll ich dann an die Sache rangehen?

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13.11.2008, 14:34

tmo

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Zitat:

Original von tmo
Es gibt prinzipiell 2 Möglichkeiten, wie diese Gleichung erfüllt sein kann.

1. $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig.

2. $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \times \vec{w} \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig.

Nun ist da allerdings noch die Bedinung $\begin{eqnarray*} \vec{u} \cdot \vec{v} \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Die spielt da auch noch eine Rolle.

So?

verwirrt

13.11.2008, 14:42

riwe

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verwirrt

13.11.2008, 14:46

Mathe-Anfänger

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Also soll ich sagen

$\begin{eqnarray*} w_1 = k \cdot v_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2 = k \cdot v_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_3 = k \cdot v_3 \end{eqnarray*}$

und das dann also eine Lösung angeben?

Und als andere:

$\begin{eqnarray*} u_1 = l \cdot (v_2w_3 - v_3w_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_2 = l \cdot -(v_1w_3 - v_3w_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_3 = l \cdot (v_1w_2 - v_2w_1) \end{eqnarray*}$

(wobei ich da halt noch das Gleichungssystem lösen muss)

13.11.2008, 14:47

Mathe-Anfänger

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Zitat:

Original von riwe
graßmann verwirrt

verwirrt

inwiefern soll mir das helfen?

13.11.2008, 14:53

Mathe-Anfänger

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ahh ich glaub jetzt hats klick gemacht. Soll ich diese Identität in Verbindung mit meinem vorletzten Post nutzen?

13.11.2008, 15:09

mYthos

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Zitat:

Original von Mathe-Anfänger
Also soll ich sagen

$\begin{eqnarray*} w_1 = k \cdot v_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2 = k \cdot v_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_3 = k \cdot v_3 \end{eqnarray*}$
...

Das würde implizieren, dass v und w linear abhängig sind. Das müssen sie aber nicht sein.

Andere Frage: Was folgt denn daraus, wenn das Vektorprodukt zweier Vektoren Null ist? Welchen Winkel schliesst $\begin{eqnarray*} v \times w \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ein?

mY+

13.11.2008, 15:09

Mathe-Anfänger

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so ich hab jetzt bisschen rumprobiert, aber irgendwie kommt da nichts tolles raus.
irgendwie komm ich doch auf keinen grünen zweig. habt ihr noch nen tipp parat?

13.11.2008, 15:11

Mathe-Anfänger

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Hi mythos!

Sorry hab deinen Post überlesen.

Also wenn das Vektorprodukt 0 ist, dann heißt das doch, dass die beiden Vektoren linear abhängig sind, oder geometrisch gesprochen, die selbe Richtung haben, oder?

13.11.2008, 15:17

mYthos

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So ist es! Daraus schließen wir, dass $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \times w \end{eqnarray*}$ dieselbe Richtung haben. Weil $\begin{eqnarray*} v \times w \end{eqnarray*}$ senkrecht zu $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ steht, sind die entsprechenden skalaren Produkte .... (jetzt kannst dann in den Graßmann einsetzen).

mY+

13.11.2008, 15:37

Mathe-Anfänger

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So also nochmal von vorne (dass ich das jetzt richtig überreiße):

wenn ich den Kern(F) bestimmen soll muss gelten: $\begin{eqnarray*} F(w) = \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{0} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u,v \in \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ . Dazu gibt es 3 Fälle:

1. $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig.
oder
2. $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \times \vec{w} \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig.
oder
3. $\begin{eqnarray*} u = \vec{0} \end{eqnarray*}$ "oder" $\begin{eqnarray*} v = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Richtig?

Für den Fall 1 gilt:
$\begin{eqnarray*} w_1 = k \cdot v_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2 = k \cdot v_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_3 = k \cdot v_3 \end{eqnarray*}$

Für den Fall 2 gilt:
$\begin{eqnarray*} u = l (v \times w) \end{eqnarray*}$
Wenn dem aber so ist, so ist $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ parallel zu $\begin{eqnarray*} v \times w \end{eqnarray*}$ und somit senkrecht zu $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ . Dies darf aber nicht sein, weil $\begin{eqnarray*} \vec{u} \cdot \vec{v} \neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten muss. d.h. der zweite Fall kann nicht eintreten und somit gilt:

$\begin{eqnarray*} Kern(F) = \{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R ^3 | \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}, k \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Kann ich das dann auch so als Lösung angeben, wenn nach $\begin{eqnarray*} Kern(F) \end{eqnarray*}$ gesucht ist? Was mach ich mit dem 3.Fall?

13.11.2008, 16:25

mYthos

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Ich denke, das du das richtig gelöst hast. Vor allem der Fall 2 war der Knackpunkt. Im Falle 3 handelt es sich jeweils um ein Vektorprodukt mit dem Nullvektor, da muss man überhaupt nichts rechnen.

mY+

13.11.2008, 17:40

Mathe-Anfänger

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Alles klar! Danke euch! Immer wieder super hier!

13.11.2008, 18:14

tmo

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Zitat:

Original von Mathe-Anfänger
$\begin{eqnarray*} Kern(F) = \{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R ^3 | \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}, k \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Nur ein bisschen Kosmetik:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Kern}(F) = \{ k\cdot \vec{v} \mid k \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Sieht ein bisschen besser aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.11.2008, 18:17

Leopold

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Ich würde so argumentieren:

Aus $\begin{eqnarray*} \vec{u} \times \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) = \vec{o} \end{eqnarray*}$ folgt, daß $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \times \vec{w} \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind. Wären nun $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig, so wären $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ orthogonal, was $\begin{eqnarray*} \vec{u} \cdot \vec{v} \neq 0 \end{eqnarray*}$ widerspricht. Also sind $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ linear abhängig. Da $\begin{eqnarray*} \vec{v} \neq \vec{o} \end{eqnarray*}$ ist (was sich ebenfalls aus $\begin{eqnarray*} \vec{u} \cdot \vec{v} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ergibt), muß es daher einen Skalar $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ geben mit

$\begin{eqnarray*} \vec{w} = \lambda \vec{v} \end{eqnarray*}$

13.11.2008, 18:18

tmo

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Genau darauf wollte ich auch schon hinaus Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von tmo
Es gibt prinzipiell 2 Möglichkeiten, wie diese Gleichung erfüllt sein kann.

1. $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig.

2. $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \times \vec{w} \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig.

Nun ist da allerdings noch die Bedinung $\begin{eqnarray*} \vec{u} \cdot \vec{v} \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Die spielt da auch noch eine Rolle.

13.11.2008, 18:30

Leopold

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Wobei zwischen den Fällen aber eine Abhängigkeit besteht, denn der 2. Fall tritt aufgrund der vorgegebenen Gleichung auf jeden Fall ein. Und er impliziert zusammen mit $\begin{eqnarray*} \vec{u} \cdot \vec{v} \neq 0 \end{eqnarray*}$ dann den 1. Fall.

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