Übergangsbogen

27.08.2006, 19:29

co0kie

Übergangsbogen

Hallo Leute!!
Ich bin ein Gymnasiast der 12. Klasse, der als Leistungskurs Mathe gewählt hat. Wir haben eine Aufgabe in unserem Buch, von der mein Lehrer sagt, sie sei ziemlich knifflig und er selbst hätte dafür noch keine Lösung parat. Deshalb wollte ich mich mal daran wagen und schauen, was ich so zu Stande bringe.

Gesagt, getan. Aber mein Lehrer hatte Recht, die Aufgabe ist ziemlich schwer:

Zitat:

Eine ganzrationale Funktion f ist so zu bestimmen, dass ihr Graph einen Übergangsbogen zwischen zwei Halbgeraden bildet. Der Grad von f soll möglichst klein sein.

Der Graph von f soll an den Anschlusstellen keinen "Knick" aufweisen. Präzisiere diese Forderung mathematisch und bestimme dann f(x).
f soll an den Anschlussstellen in der ersten UND in der zweiten Ableitung mit den Halbgeraden übereinstimmen. Bestimme f(x).
Stell dir vor, die Halbgeraden beschreiben Straßen. Warum ist die Lösung von b) sinnvoller als Übergangsbogen als die Lösung von a)? (Hinweis: Stelle dir vor, du fährst die Linien mit einem Fahrrad ab.)

Dazu gibt es noch ein Bild. Darauf ist ein Koordinatensystem zu sehen, in dem die beiden Halbgeraden eingezeichnet sind.
Zum Einen gibt es da eine Halbgerade (nennen wir sie h), die die Steigung 1 hat, den y-Achsenabschnitt 1 und bis zum Punkt (1|2) geht. Die zweite Halbgerade (k) hat die Steigung 0, beginnt im Punkt (3|4) und geht von dort aus nach rechts.

Leider kann ich das Bild nicht einscannen, ich hoffe eine Beschreibung recht deshalb!!

Wisst ihr, wie sowas anzuegehen ist? Ich bin völlig überfragt :/

Schönen Gruß,
co0kie

27.08.2006, 20:29

xrt-Physik

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Beim Übergangsbogen soll an der Anschlussstelle (1/2) die Steigung 1
also f'(1) = 1 und an der Anschlussstelle (3/4) die Steigung 0
also f'(3) = 0 sein. Bei beiden Anschlussstellen muss das Krümmungsverhalten 0 sein (f''(1) = 0 und f''(3) = 0). Diese Informa-
tionen kann man benutzen, um f(x) zu bestimmen. Eine Funktion
4.Grades der Form f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e könnte diesen
Übergangsbogen beschreiben. Bilde die ersten beiden Ableitungen,
setze die Informationen ein und löse das entstandene Gleichungs-
system.

Ich hoffe, das bringt dich weiter.

-

Ein Physik-Witz:

Wie konstruiert man ein Dreieck?
Ein Dreieck besteht aus "3" und "Eck".
Dreieck = 3Eck
Nun setze man ein:
$\begin{eqnarray*} E = mc^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k = mw^{2} \end{eqnarray*}$
Und man erhält:
$\begin{eqnarray*} Dreieck = 3m^{2}w^{2}c^{3} \end{eqnarray*}$

27.08.2006, 20:59

co0kie

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Danke für deinen Denkanstoss!

Ich habe deinen Tipp befolgt und habe jetzt:

1. 4a + 3b + 2c + d = 1
2. 108a + 27b + 6c + d = 0
3. 12a + 6b + 2c = 0
4. 108a + 18b + 2c = 0

Aber was kann ich nun damit anfangen? Hab ich so schon ein lösbares Gleichungssystem? Weil bei den letzten beiden Gleichungen ja d fehlt. Kann ich jetzt trotzdem schon das Gausverfahren anwenden??

27.08.2006, 21:05

xrt-Physik

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Natürlich kannst du es lösen!

Subtrahiere zunächst Gleichung 1 mit Gleichung 2. Dann hast du
ein Gleichungssystem mit 3 Variablen. Dies kannst du dann mit
dem Gaussverfahren lösen.

Das Glied e der Funktion ist nichts anderes als die Höhe des Funktions-
graphen.

Wie heißt du eigentlich mit richtigen Namen?

27.08.2006, 21:07

co0kie

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Okay dann probier ich jetzt mal aus das Gleichungssystem zu lösen.

Mein richtiger Name ist Anton. Wieso fragst du? Augenzwinkern

28.08.2006, 15:55

xrt-Physik

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Um den Wert e der Funktion bestimmen zu können, benutze z.B.
den Punkt (1/2) also f(1) = 2

Wenn du das Gleichungssystem nach den Variablen a,b,c und d auf-
gelöst hast, setzt du die 4 ermittelten Variablen und die Information
mit diesem Punkt (oder einen anderen) in die Funktionsgleichung ein
und du kannst problemlos der Wert e bestimmen.

28.08.2006, 22:47

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Zitat:

Original von xrt-Physik
Eine Funktion 4.Grades [..] könnte diesen Übergangsbogen beschreiben.

Wie kommst du auf Grad 4?

Bei a) sind 4 Bedingungen einzuhalten, bei b) sind es 6.

Also wäre bei a) ein Polynom 3.Ordnung, und bei b) eines 5.Ordnung als Ansatz angemessen.

29.08.2006, 16:43

co0kie

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Hallo Arthur Dent!!

Was genau meinst du mit es sind 4 bzw 6 Bedingungen einzuhalten??

Und ich wollte noch mal fragen, was damit genau gemeint ist bei a), dass man den "Knick" vermeiden soll?
xrt-Physik hat ja bereits angedeutet, dass dafür f''(x) = 0 an den Anschlussstellen gelten soll. Aber warum hab ich ehrlich gesagt noch nicht ganz kapiert o.O

Gruß, coo

29.08.2006, 16:56

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Na das ist doch weiter oben schon alles gesagt wurden, hier also nochmal zusammengefasst:

Bedingungen bei a) : $\begin{eqnarray*} f(1)=2,\; f(3)=4,\; f'(1)=1,\; f'(3)=0 \end{eqnarray*}$

Bedingungen bei b) : $\begin{eqnarray*} f(1)=2,\; f(3)=4,\; f'(1)=1,\; f'(3)=0,\; f''(1)=0,\; f''(3)=0 \end{eqnarray*}$

Ich zähle vier Bedingungen bei a), und sechs bei b).

Und zu deinen anderen Fragen: Bitte genau lesen! Knick vermeiden heißt nicht $\begin{eqnarray*} f''(x)=0 \end{eqnarray*}$ , sondern dass die erste Ableitung an der fraglichen Stelle stetig ist, also keinen "Sprung" dort hat. Hat sie nämlich letzteres, dann wechselt die Kurventangente in diesem Punkt sprungartig die Richtung, was man eben umgangssprachlich als "Knick" bezeichnet.

29.08.2006, 17:00

xrt-Physik

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Bedingungen sind hier Informationen, mit denen du das lineare Gleichungssystem aufgestellt hast.

f''(x) = 0 bedeutet, dass es an der Stelle x keine Krümmung geben
soll. Beide Halbgeraden sind Geraden und sollen nicht gekrümmt sein!

Mit einen Knick ist das schlagartige Ansteigen scheinbar gemeint, aber
mit einem Übergangsbogen kann man einen Knick verhindern.

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