beweis(geordneter Körper)

13.11.2008, 16:42

imag

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beweis(geordneter Körper)

Ich will beweisen: Es sei (K,+, $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ ,<) ein geordneter Körper. Zeige: Für alle n E N gilt

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n\geq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2} x^2 falls x\geq 0 \end{eqnarray*}$

ich bin soweit:

$\begin{eqnarray*} (1+n)^n=\sum_{v=0}^n{n \choose v}x^v \end{eqnarray*}$

also:
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^n{n \choose v}x^v\geq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2} x^2 \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} (1+n)^n=\sum_{v=0}^n{n \choose v}x^v\geq1+nx \end{eqnarray*}$ nach bernoullischer Ungleichung.
und jetzt komm ich nicht weiter:
ich weiß, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$
größer als 0 ist und das
$\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ auch größer als 0 ist, aber das hilft mir irgendwie nicht weiter. kann mir da jemand weiterhelfen? wäre echt sehr nett. danke.

13.11.2008, 18:04

tmo

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RE: beweis(geordneter Körper)

Zitat:

Original von imag

also:
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^n{n \choose v}x^v\geq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2} x^2 \end{eqnarray*}$

Dass diese Ungleichung für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, ist doch fast trivial.

$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^n{n \choose v}x^v = \sum_{v=0}^2{n \choose v}x^v + \sum_{v=3}^n{n \choose v}x^v \end{eqnarray*}$

13.11.2008, 19:44

imag

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RE: beweis(geordneter Körper)
Mmmmh ok. Aber das ist doch kein Beweis oder? und ehrlich gesagt verstehe ich auch nicht ganz, was du mir damit sagen willst. Kannst mir das vielleicht näher erklären? Stimmt mein Ansatz so nicht?

13.11.2008, 19:46

tmo

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RE: beweis(geordneter Körper)

Zitat:

Original von tmo
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^2{n \choose v}x^v \end{eqnarray*}$

Rechne das doch mal aus.

13.11.2008, 20:14

imag

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RE: beweis(geordneter Körper)
Das sind dann
$\begin{eqnarray*} {n\choose0}x^0+{n\choose1}x^1+{n\choose2}^2=1+nx+\frac{n(n-1)!}{2(n-2)!} \end{eqnarray*}$
ahh jetzt weiß ich worauf du hinaus wolltest. das versteh ich. nur ich glaub beim letzten fehlt mir noch was damit das auch genau das andere ergibt oder?

13.11.2008, 20:16

tmo

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Da kannst du doch noch kürzen.

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13.11.2008, 20:30

imag

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blöde frage: aber ich glaub da bleibe ich öfter hängen. wie kürzt man das?
kann ich das (n-2)! umschreiben? ich weiß nicht so genau wie.

14.11.2008, 09:35

imag

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RE: beweis(geordneter Körper)
$\begin{eqnarray*} 1+nx+\frac{n(n-1)!}{2(n-2)!} \end{eqnarray*}$
kann mir da jemnd weiterhelfen? hab probleme diesen bruch weiter zu kürzen! danke

14.11.2008, 09:45

klarsoweit

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RE: beweis(geordneter Körper)
Der Umgang mit Fakultäten scheint ein Riesenproblem für die Studenten zu sein.

Was ist denn (n-1)! ?

14.11.2008, 09:47

imag

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RE: beweis(geordneter Körper)
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n-1)!}{2(n-2)!}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot...(n-2)(n-1)}{1\cdot2\cdot3\cdot...(n-2)}=n-1 \end{eqnarray*}$ und dann habe ich genau das was ich brauche!

14.11.2008, 09:49

imag

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RE: beweis(geordneter Körper)
Ich will beweisen: Es sei (K,+, $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ ,<) ein geordneter Körper. Zeige: Für alle n E N gilt

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n\leq1+nx+\frac{n(n-1)}{2} x^2 falls -1\leq x<0 \end{eqnarray*}$

lösen. kann mir jemand einen tipp geben wie ich da am besten ran gehe?

14.11.2008, 11:45

klarsoweit

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RE: beweis(geordneter Körper)
Mit vollständiger Induktion. Das hätte man mit dem anderen auch schon machen können.

14.11.2008, 12:10

imag

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RE: beweis(geordneter Körper)
d.h. ich setzte für n=1:
und das gilt da: $\begin{eqnarray*} 1+x\leq1+x+x^2 \end{eqnarray*}$
so und mein induktionsschritt ist: $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1}\leq1+nx+x+\frac{n^2+n}{2}x^2 \end{eqnarray*}$
stimm das soweit?
wie beziehe ich jetzt da x und seine bedingungen mit ein?

14.11.2008, 12:16

klarsoweit

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RE: beweis(geordneter Körper)

Zitat:

Original von imag
d.h. ich setzte für n=1:
und das gilt da: $\begin{eqnarray*} 1+x\leq1+x+x^2 \end{eqnarray*}$

So, so.

unglücklich

Wie kommst du denn auf die rechte Seite? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von imag
so und mein induktionsschritt ist: $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1}\leq1+nx+x+\frac{n^2+n}{2}x^2 \end{eqnarray*}$

Genau genommen ist das das, was im Induktionsschritt zu zeigen ist. Fange mit $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \end{eqnarray*}$ und folgere die rechte Seite der Ungleichung unter Verwendung der Induktionsannahme.

14.11.2008, 12:22

imag

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RE: beweis(geordneter Körper)
das $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ war zuviel.

14.11.2008, 12:45

imag

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RE: beweis(geordneter Körper)
ist es hilfreich das $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \end{eqnarray*}$ als summe zuschreiben?
nämlich so
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^{n+1}{n \choose v}x^v \end{eqnarray*}$ ???

14.11.2008, 12:55

klarsoweit

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RE: beweis(geordneter Körper)
Nein. Mit der binomischen Formel schlagen wir uns gar nicht herum. Der Schritt liegt doch eigentlich auf der Hand:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} = (1+x) \cdot (1+x)^n \end{eqnarray*}$ und dann die Induktionsannahme verwenden.

14.11.2008, 13:25

imag

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RE: beweis(geordneter Körper)
ahh ok! dann habe ich:
$\begin{eqnarray*} (1+x)(1+x)^n\leq(1+x)1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2 \end{eqnarray*}$
und wenn ich das jetzt umforme müsste ich auf der echten seite auf
$\begin{eqnarray*} 1+nx+x\frac{n(n+1)}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ kommen oder?

14.11.2008, 13:32

klarsoweit

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RE: beweis(geordneter Körper)

Zitat:

Original von imag
ahh ok! dann habe ich:
$\begin{eqnarray*} (1+x)(1+x)^n\leq(1+x) 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2 \end{eqnarray*}$

Und immer schön Klammern setzen: $\begin{eqnarray*} (1+x)(1+x)^n\leq(1+x) \cdot (1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von imag
und wenn ich das jetzt umforme müsste ich auf der echten seite auf
$\begin{eqnarray*} 1+nx+x\frac{n(n+1)}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ kommen oder?

Ja, allerdings soll dies rauskommen: $\begin{eqnarray*} 1+nx+x + \frac{n(n+1)}{2}x^2 \end{eqnarray*}$

14.11.2008, 14:02

imag

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RE: beweis(geordneter Körper)
Hoffe ich habe mich nicht verrechnet aber habe jetzt
$\begin{eqnarray*} 1+nx+x+\frac{n(n+1)}{2}x^2\frac{xn-x}{2} \end{eqnarray*}$

der letzte term ist doch rigendwie zu viel. kann es sein dass ich mich verechnet habe? find keinen fehler. oder hat das was mit den bedingungen für x zu tun?

14.11.2008, 14:06

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RE: beweis(geordneter Körper)
Kannst du mal erklären, wie du auf diesen Term gekommen bist?

14.11.2008, 14:33

imag

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RE: beweis(geordneter Körper)
also:
ich habe den term
$\begin{eqnarray*} (1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2) \end{eqnarray*}$ den ich durch einstetzen der induktionsannahme erhalte, umgeformt.

14.11.2008, 14:39

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RE: beweis(geordneter Körper)
Davon bin ausgegangen. Ich kann aber nicht nachvollziehen, wie du da auf

$\begin{eqnarray*} 1+nx+x+\frac{n(n+1)}{2}x^2\frac{xn-x}{2} \end{eqnarray*}$

gekommen bist.

14.11.2008, 15:02

imag

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RE: beweis(geordneter Körper)
aso:
$\begin{eqnarray*} (1+x)(1+nx+\frac{x^2n^2}{2}-\frac{x^2n}{2})=1+nx+x+\frac{2nx^2+x^2n^2+x^3n^2-x^2n-x^3n}{2}=1+nx+x\frac{nx^2(1+n+xn-x)}{2}=1+nx+x+\frac{n(n+1)}{2}x^2\frac{xn-x}{2} \end{eqnarray*}$

14.11.2008, 15:39

klarsoweit

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RE: beweis(geordneter Körper)
Die Umformung zu dem Term hinter dem letzten Gleichheitszeichen ist mir nicht klar. Aber warum so kompliziert?

$\begin{eqnarray*} (1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2) = 1+nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + x+nx^2 + \frac{n(n-1)}{2}x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1+(n+1)x + (\frac{n^2-n}{2} +n) \cdot x^2 + \frac{n(n-1)}{2}x^3 = 1+(n+1)x + \frac{n^2+n}{2} \cdot x^2 + \frac{n(n-1)}{2}x^3 \end{eqnarray*}$

Jetzt ist man fast am Ziel. Was kannst du über das Vorzeichen des letzten Summanden sagen?

14.11.2008, 16:04

imag

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RE: beweis(geordneter Körper)
Ich würde sagen das der summand negativ ist da das x zwischen -1 und 0 liegt aber die -1 eingeschlossen und somit negativ ist.
also ist $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ auch negativ! aber das würde doch eher bedeuten das der rechte term eher kleiner als der linke ist anstatt größer oder?

14.11.2008, 16:08

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RE: beweis(geordneter Körper)
Ach verflixt, es mußte in:

Zitat:

Original von imag
$\begin{eqnarray*} (1+x)(1+x)^n\leq(1+x)1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2 \end{eqnarray*}$

so heißen:
$\begin{eqnarray*} (1+x)(1+x)^n \geq(1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2) \end{eqnarray*}$

Durch das Einsetzen der Induktionsannahme wird der Term ja kleiner.

EDIT: völliger Quatsch. Einfach ignorieren.

14.11.2008, 16:28

imag

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RE: beweis(geordneter Körper)
das verstehe ich jetzt nicht. die induktionsannahme ist doch:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^n\leq1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2 \end{eqnarray*}$
also ist
$\begin{eqnarray*} (1+x)(1+x)^n \leq(1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2) \end{eqnarray*}$ ich setzte das doch nur für $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$ ein und es gilt $\begin{eqnarray*} (1+x)^n\leq1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ oder?

14.11.2008, 17:31

klarsoweit

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RE: beweis(geordneter Körper)
Ja, das war völliger Quatsch. Da habe ich mich selbst aufs Glatteis gelegt. Hammer

Hammer

Also wir waren hier:

$\begin{eqnarray*} (1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2) = 1+nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + x+nx^2 + \frac{n(n-1)}{2}x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1+(n+1)x + (\frac{n^2-n}{2} +n) \cdot x^2 + \frac{n(n-1)}{2}x^3 = 1+(n+1)x + \frac{n^2+n}{2} \cdot x^2 + \frac{n(n-1)}{2}x^3 \end{eqnarray*}$

Der Term mit dem x³ ist garantiert negativ oder Null. Wenn man den wegläßt, wird der restliche Term nur noch größer.

14.11.2008, 17:38

imag

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RE: beweis(geordneter Körper)
ahh ok. also stimmte das was ich im letzten beitrag geschrieben habe so oder?
und das mit dem letzten term klingt sinnvoll. dankeschön.

14.11.2008, 17:42

klarsoweit

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RE: beweis(geordneter Körper)

Zitat:

Original von imag
ahh ok. also stimmte das was ich im letzten beitrag geschrieben habe so oder?

Ja. Man muß natürlich beim einsetzen der Induktionsannahme verwenden, daß sowohl 1+x als auch $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$ größer oder gleich Null sind. Sonst hat man die Ungleichungsregeln nicht eingehalten.

14.11.2008, 18:37

imag

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RE: beweis(geordneter Körper)
das verstehe ich jetzt nicht so ganz was damit gemeint ist. ich warum muss dann 1+x und $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$ größer oder gleich null sein?

15.11.2008, 09:28

klarsoweit

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RE: beweis(geordneter Körper)
In dem Term $\begin{eqnarray*} (1+x)(1+x)^n \end{eqnarray*}$ ersetzen wir das $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2) \end{eqnarray*}$ . Da muß das 1+x positiv sein, denn nur dann gilt:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \leq (1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2) \Leftrightarrow (1+x)^{n+1} \leq (1+x) \cdot (1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2) \end{eqnarray*}$

Bei negativem 1+x würde sich das Ungleichheitszeichen umdrehen.

15.11.2008, 10:34

imag

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RE: beweis(geordneter Körper)
achso ok. jetzt ist es klar. dankeschön

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