Mengen

27.08.2006, 20:19

kingskid

Mengen

Hi!

Warum ist der $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ offen und abgeschlossen, aber $\begin{eqnarray*} R \times \{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z \times \{-1,1\} \end{eqnarray*}$ nur abgeschlossen??

viele grüße

27.08.2006, 20:21

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RE: Mengen
Offen heißt, dass mit jedem Punkt auch eine Umgebung dieses Punktes vollständig in der Menge enthalten ist. Bei den letzteren beiden Mengen ist es sogar so, dass kein Punkt diese Bedingung erfüllt!

27.08.2006, 20:55

irre.flexiv

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Hm, hat $\begin{eqnarray*} R \times \{0\} \end{eqnarray*}$ nicht dieselbe Struktur wie $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und wäre damit auch offen?
Oder bin ich da völlig falsch ..

27.08.2006, 21:06

JochenX

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$\begin{eqnarray*} \mathbb R \times \{0\} \subset \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} \mathbb R \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$

Siehst du den Unterschied?

Das eine ist eine "Einbettung" von IR in IR^2, während das andere eine (kanonische) Einbettung von IR in sich selbst ist.
In IR^2 ist dieser Zahlenstrahl eben nicht offen!

27.08.2006, 21:59

irre.flexiv

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Zitat:

In IR^2 ist dieser Zahlenstrahl eben nicht offen!

Das kann ich nachvollziehen. Aber ich betrachte doch nicht R^2 sondern R x {0} verwirrt

Ich machs mal am Beispiel. Dann kannst du mir vielleicht besser sagen wo mein Denkfehler ist.

$\begin{eqnarray*} A := \mathbb R \times \{0\} \end{eqnarray*}$

Eine offene Kugel in einem metrischen Raum E wird ja als $\begin{eqnarray*} B(a,r) := \{x \in E : d(x,a) < r\} \end{eqnarray*}$ definiert.

In diesem Fall also $\begin{eqnarray*} B((a,0),r) = \{(x,0) \in A : d((x,0),(a,0)) < r\} = \{(x,0) \in A : \sqrt{x^2+a^2} < r\} \end{eqnarray*}$

Jetzt gilt meiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} B((a,0),r) \subset A \end{eqnarray*}$ für jedes a und r. Damit wäre A offen.

27.08.2006, 22:19

JochenX

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Haben denn alle Punkte aus der r-Umgebung wirklich als zweite Koordinate 0?
Wenn nein, dann liegen sie NICHT in A.

Dein Fehler ist, dass du tatsächlich nur die "(x,0) aus A, die ...." in deine Menge packst.
Natürlich ist das dann eine Teilmenge von A.

Du musst aber die "(x,y) aus IR^2, die....." nehmen.

Klar? und wenn du einen Kreis (ja im IR^2 ist deine Umgebung ein Kreis, im IR^1 ein Intervall) um einen Punkt der Achse {(x,0)} legst, dann bekommst du eben auch Punkte, die nicht zweite Koordinate 0 haben.

Klar, oder muss ich noch eine schreckliche Paintskizze anhängen?

27.08.2006, 22:27

irre.flexiv

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Ne ist jetzt klar was gemeint ist.

Wenn ich A als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ betrachte dann ist A natürlich nicht offen.

Jetzt kann man die Frage von kingskid aber auch anders interpretieren.

Ich kann ja $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auch als eigenständigen metrischen Raum betrachten.

In dem Fall ist A offen.

27.08.2006, 22:35

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Also ehrlich, irre.flexiv: Wenn man bei Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ von offen redet ohne den Grundraum anzugeben, dann ist laut Konvention immer der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ gemeint. LOL Hammer

Genauso wie bei Folgen $\begin{eqnarray*} (f(n)) \end{eqnarray*}$ auch immer $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gemeint ist, aber das biegst du ja auch um. Augenzwinkern

27.08.2006, 22:36

JochenX

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Zitat:

In dem Fall ist A offen.

ist das nicht ein Charakteristikum von metrischen Räumen, dass der ganze Raum (und damit die leere Menge) abgeschlossen und offen ist?
Da wäre also nicht viel Aussagekraft dahinter.

Insbesondere aus der Frage "warum ist..... nur abgeschlossen?" folgt direkt, dass sie wohl nicht A in A meint.

Was meinst du? Augenzwinkern

27.08.2006, 22:39

kingskid

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*help* das ist ja alles verwirrend... @LOED kannst du vielleicht doch so eine paint-skizze anhängen *please* ... ich glaub dann versteh ich es besser, weil so steig ich da noch nicht wirklich durch.... =)

27.08.2006, 22:46

irre.flexiv

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Zitat:

ist das nicht ein Charakteristikum von metrischen Räumen

Ja du hast natürlich Recht daran hatte ich nicht gedacht.

Im Nachhinein kommen mir meine Posts leicht bescheuert vor, aber wenigstens hab ich es jetzt begriffen Gott

27.08.2006, 22:50

JochenX

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Zitat:

Original von kingskid
*help* das ist ja alles verwirrend... @LOED kannst du vielleicht doch so eine paint-skizze anhängen *please* ... ich glaub dann versteh ich es besser, weil so steig ich da noch nicht wirklich durch.... =)

Aber nur, weil ich so gerne was in Paint zeichnen wollte! smile

Ist eh doof geworden, hoffentlich bringt's trotzdem was.

Gruß, Jochen

27.08.2006, 23:27

kingskid

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hey das ging ja schnell, vielen vielen dank @jochen! natürlich bringen deine skizzen was, seeehr viel sogar! smile

also versteh ich das so richtig:
die skizze zeigt dass IR in IR^2 nicht offen ist, aber IR in sich selbst schon.
und weil M = IR x {0} aus IR^2 ist, ist M auch nicht offen, d.h. abgeschlossen. M ist ja dann gerade die x-Achse im R^2 , oder?

und wenn man zeigen möchte, dass IR abgeschlossen ist, dann muss man zeigen, dass alle Randpunkte enthalten sind? sind das dann gerade die rationalen zahlen?

viele grüße

27.08.2006, 23:32

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Zitat:

Original von kingskid
ist M auch nicht offen, d.h. abgeschlossen.

Ähem, so formuliert klingt das aber seltsam: Wenn eine Menge nicht offen ist, heißt das noch lange nicht, dass sie abgeschlossen ist.

27.08.2006, 23:33

JochenX

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Zitat:

Original von kingskid
die skizze zeigt dass IR in IR^2 nicht offen ist

sage hier nicht IR, denn du betrachtest ja Teilmengen (!!) von deinem Gesamtraum und IR ist keine Teilmenge von IR^2.
IRx{0} oder wie du unten sagst anschaulich: die x-Achse.

Zitat:

und weil M = IR x {0} aus IR^2 ist, ist M auch nicht offen, d.h. abgeschlossen.

die Aussage ist unverständlich.
Insbesondere ist schon "nicht offen => abgeschlossen" im Allgemeinen falsch!!
M ist nicht offen, weil, wenn du einen Kreis (im IR^2 sind die Umgebungen zweidimensionale Kugeln, also Kreise) wie eingezeichnet um einen der Punkte x aus (hier ist sogar beliebig welches x aus M du nimmst) zeichnest, dann liegt nicht der ganze Kreis in M (offensichtlich oder? der Kreis ist ja nicht Teilmenge der x-Achse, egal, wie klein der Radius).
Und die Bedingung, dass es einen Kreis gibt, der ganz in M liegt, das ist doch die Offenheitsbedingung und die hier halt nicht erfüllt.

Zitat:

M ist ja dann gerade die x-Achse im R^2 , oder?

ja, so kann man es anschaulich sehen!

Zitat:

und wenn man zeigen möchte, dass IR abgeschlossen ist, dann muss man zeigen, dass alle Randpunkte enthalten sind? sind das dann gerade die rationalen zahlen?

wie gesagt, als ganzer Raum ist IR definitionsgemäß abgeschlossen
oder meinst du jetzt, dass dein M im IR^2 abgeschlossen ist?

27.08.2006, 23:51

kingskid

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hm, also " nicht offen" und "abgeschlossen" bedeuten nicht das gleiche.

aber wenn eine Menge offen ist, dann ist das äquivalent dazu, dass ihr komplement abgeschlossen ist, oder?

okay, das mit nicht offen, weil der kreis(oder kugel) nicht komplett in M liegt hab ich nun verstanden, aber wie kommt man dann darauf, dass die Menge M abgeschlossen ist, wenn man das so ja nicht folgern darf??

d.h. man kann das gar nicht begründen dass der IR abgeschlossen ist, das ist "nur" eine definition???
und dass IR offen ist auch "nur" definiert??

28.08.2006, 00:01

irre.flexiv

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Zitat:

hm, also " nicht offen" und "abgeschlossen" bedeuten nicht das gleiche.

Ja. Z.B ist das Intervall [0;1) aus R ist nicht offen und nicht abgeschlossen.

Zitat:

aber wenn eine Menge offen ist, dann ist das äquivalent dazu, dass ihr komplement abgeschlossen ist, oder?

Richtig.

Zitat:

wie kommt man dann darauf, dass die Menge M abgeschlossen ist, wenn man das so ja nicht folgern darf??

Indem du zeigst das R^2\M offen ist.

Zitat:

d.h. man kann das gar nicht begründen dass der IR abgeschlossen ist, das ist "nur" eine definition???

Man kann es begünden. $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{\} \end{eqnarray*}$ sind nach Definition offener Mengen offen.
Das Komplement von {} ist R, also ist R auch abgeschlossen, genauso wie {}.

28.08.2006, 00:04

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Welche Definition von "abgeschlossen" habt ihr denn gehabt? Es gibt verschiedene, die natürlich alle zueinander äquivalent sind.

Eine ist z.B.

Zitat:

Original von kingskid
aber wenn eine Menge offen ist, dann ist das äquivalent dazu, dass ihr komplement abgeschlossen ist,

Dann betrachte doch das Komplement von diesem Zahlenstrahl: Da findest du zu jedem Punkt dieses Komplements tatsächlich einen Kreis, der komplett zum Komplement gehört, und sei er auch noch so klein. Augenzwinkern

29.08.2006, 00:11

kingskid

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hi! vielen dank nochmal für eure erklärungen.

unsre definition für "abgeschlossen" bzw "offen" lautet so:
"Eine Teilmenge A aus R^n heißt abgeschlossen, wenn A alle seine Randpunkte enthält, und offen, wenn sie keinen Randpunkt enthält, d.h. wenn A nur aus inneren Punkten besteht."

29.08.2006, 00:18

Ben Sisko

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An der Definition kannst du ja nochmal schön sehen, dass "nicht offen" und "abgeschlossen" nicht dasselbe sind. Denn es gibt ja halt noch etwas zwischen "Rand gehört gar nicht dazu" und "Rand gehört komplett dazu".

Gruß vom Ben

29.08.2006, 00:28

kingskid

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hi ben!
ja, aber damit hatte ich dann auch meine probleme, weil wenn der R^n offen und abgl ist, heißt das ja, dass der rand komplett dazugehört, aber auf der anderen seite auch wieder gar nicht... oder versteh ich die def da falsch?

... irgendwie verlässt mich hier mein vorstellungsvermögen...

29.08.2006, 00:31

Ben Sisko

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Mein Kommentar war erstmal bzgl. "normalen" Mengen.

Beim $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und der leeren Menge wird's natürlich mit der Vorstellung schwierig.
Wie habt ihr den Rand definiert? Edit: Da du nicht mehr online zu sein scheinst, erläutere ich noch kurz worauf ich hinaus wollte: Überleg dir mal, was der Rand vom $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist (Beachte, dass der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ dabei selbst die Grundmenge ist!).

29.08.2006, 15:38

kingskid

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wir haben einen randpunkt so definiert, dass wenn man eine kugel darum legt, sie sowohl innere als auch äußere punkte enthält, genauer:

"a aus R^n heißt Randpunkt von einer Menge A aus R^n, wenn a weder innerer noch äußerer Punkt ist, d.h. wenn die Kugel K(a,r) für jedes r>0 sowohl Punkte aus A wie auch Punkte aus R^n\A enthält."

hm, die rationalen Zahlen sollten der Rand von R sein, weil die dicht in R sind (da man jede relle zahl beliebig genau durch rationale zahlen approximieren kann, wenn ich mich recht erinner....)
oder besteht R nur aus Randpunkten??

29.08.2006, 15:55

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kingskid
hm, die rationalen Zahlen sollten der Rand von R sein, weil die dicht in R sind (da man jede relle zahl beliebig genau durch rationale zahlen approximieren kann, wenn ich mich recht erinner....)
oder besteht R nur aus Randpunkten??

Umgekehrt.

Wie geb ich jetzt einen Tipp, ohne zuviel zu verraten? verwirrt

Vielleicht so: Was ist ein äußerer Punkt, wenn man den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ betrachtet?

29.08.2006, 17:17

kingskid

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ops, d.h. man kann jede rationale zahl durch die reellen annähern?

Zitat:

Vielleicht so: Was ist ein äußerer Punkt, wenn man den R^n im R^n betrachtet?

...hm, die leere menge?

29.08.2006, 18:00

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm, "ein äußerer Punkt ist die leere Menge" ist natürlich falsch formuliert.
"Es gibt keine Randpunkte" oder "die Menge der Randpunkte ist die leere Menge" wäre da schon sinnvollere Aussagen, aber du meintest ja schon das richtige.

Naja, wenn es keinen Rand gibt, dann gehört er auch komplett dazu, also ist die Menge abgeschlossen.
Dass du um jeden Punkt eine Kugel legen kannst, die..... ist im IR^n auch klar, also ist der IR^n auch offen.

30.08.2006, 16:56

kingskid

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okay, danke für die erklärungen!

nur wie ein rand, der überhaupt nicht existiert komplett dazu gehören kann, ist ja auch komisch... aber vielleicht sollte ich mir nicht so viel gedanken drüber machen =)

hab aber noch ne frage zu ner einfacherern menge:

$\begin{eqnarray*} A= \{ (x,y)| 1 < x^2 + y^2 \leq 2 \} \end{eqnarray*}$

d.h. ja, dass der rand { ... = 2 } dazugehört, { ... = 1} aber nicht, oder?

aber wenn man die randpunkte von dieser menge angeben soll, muss man die dann trotzdem dazuschreiben:

Randpunkte(A) = {(x,y)| x² + y² = 1} vereingt mit {(x,y)| x²+y²=2} ??

30.08.2006, 17:23

irre.flexiv

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Zitat:

d.h. ja, dass der rand { ... = 2 } dazugehört, { ... = 1} aber nicht, oder?

Das stimmt.

Zitat:

Randpunkte(A) = {(x,y)| x² + y² = 1} vereingt mit {(x,y)| x²+y²=2} ??

Nach deiner Def. oben ja. Randpunkte müssen nicht zu A dazugehören.
Hauptsache jede Kugel um einen Randpunkt enthält sowohl innere als auch äussere Punkte von A.

30.08.2006, 17:24

JochenX

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Ja, Randpunkte werden immer innerhalb der Grundmenge (also hier IR^2) betrachtet.
Wenn du schon sagst, dass der eine Rand (Einheitskreis) nicht dazu gehört, dann sagst du doch schon, dass er aber trotzdem Rand ist.
Also musst du ihn auch als Rand aufzählen. Augenzwinkern

edit: na toll, über 1h keine Antwort und wenn ich dann komme, ist irre.flexiv auch schon da gewesen
grml smile

30.08.2006, 17:58

kingskid

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okay, alles klar, danke euch beiden smile

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