Gruppenhomorphismen

13.11.2008, 17:29

prinzschleifer

Gruppenhomorphismen

Hallihallo Community,

ich hab mal wieder Probleme mit einer Aufgabe (siehe Anhang)!

Zu (a) (i)

Zu zeigen ist:
$\begin{eqnarray*} \Phi\, \subset G \end{eqnarray*}$ , wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \Phi\, \neq \varnothing \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \forall a,b \in \Phi\, : a \cdot b^{-1} \in \Phi\, \end{eqnarray*}$

Also:
Durch die Definition einer Untergruppe ist die erste Bedingung erfüllt: Laut Definiton darf nämlich eine Untergruppe nicht die leere Menge enthalten.

Wegen $\begin{eqnarray*} \Phi\, \subset G \end{eqnarray*}$ exisitert auch ein inverses Element $\begin{eqnarray*} a \cdot a^{-1} = e_\Phi\, \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} a^{-1} \in \Phi\, \end{eqnarray*}$ ist, dann auch $\begin{eqnarray*} b^{-1} \end{eqnarray*}$ , denn nach Vorraussetzung gilt: $\begin{eqnarray*} b \in \Phi\, \end{eqnarray*}$

Ist die erste Frage somit beantwortet oder muss ich noch tiefgründiger Argumentieren?

13.11.2008, 17:41

Reksilat

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RE: Gruppenhomorphismen

Zitat:

Zu zeigen ist:
$\begin{eqnarray*} \Phi\, \subset G \end{eqnarray*}$ , wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \Phi\, \neq \varnothing \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \forall a,b \in \Phi\, : a \cdot b^{-1} \in \Phi\, \end{eqnarray*}$

Also Deine Frage hat irgendwie nichts mit dem Bild zu tun

Fakt ist:
$\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ist eine Untergruppe genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \Phi\, \neq \varnothing \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall a,b \in \Phi\, : a \cdot b^{-1} \in \Phi\, \end{eqnarray*}$

Was Du zeigst ist die triviale Richtung dieser Äquivalenz, es ist aber die andere Richtung gefordert, d.h. mit den beiden Eigenschaften sind die Gruppenaxiome nachzuweisen.

PS: Im allgemeinen schreibt man $\begin{eqnarray*} \Phi\leq G \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \Phi < G \end{eqnarray*}$ für (echte) Untergruppen

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