Vollständige Räume

27.08.2006, 21:53	Jochen1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Räume Hallo zusammen, ich habe mal wieder eine Frage. Wir habe in Analysis die Vollständigkeit von R über das Intervallschachtellungsprinzip eingeführt. Als äquivalente Beschreibung en haben wird die Supremumseigenschaft und Folgencharakterisierung noch besprochen. Im zweiten Semester haben wir dann Vollständige Raume kenngelernt und als Bedingung für die Vollständigkeit erneut die Folgencharachterisierung genommen. Meine Frage ist jetzt: Kann ich die anderen zwei Prinzipien auf Vollständige Räume übertragen oder nicht? Ich habe dazu irgendwie keine brauchbaren Informationen gefunden. Danke.
28.08.2006, 13:19	gast1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, die Supremumseigenschaft lässt sich in metrischen Raum nicht formulieren, da diese nicht angeordnet sein müssen und man deshalb nicht von einer "oberen Schranke" oder gar einer "kleinsten oberen Schranke" einer Teilmenge sprechen kann. Beim Intervallschachtelungsprinzip war ich mir nicht sicher, aber jemand hat mir gerade verraten, dass es sich wie folgt verallgemeinern lässt: Sei (M,d) ein metrischer Raum. Dann ist seine Vollständigkeit äquivalent zur folgenden Bedingung: Ist $\begin{eqnarray} (A_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A_n\subset M \end{eqnarray}$ eine absteigende Folge nichtleerer abgeschlossener Mengen mit $\begin{eqnarray} \lim \text{diam}(A_n)=0 \end{eqnarray}$ , so gilt stets $\begin{eqnarray} \cap_{n=0}^{\infty}A_n\neq \emptyset \end{eqnarray}$ . Dabei ist für eine Teilmenge $\begin{eqnarray} X\subset M \end{eqnarray}$ der Durchmesser $\begin{eqnarray} \text{diam}(X) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \text{sup}\{d(x,y)\in\mathbb{R}\|x,y\in X\} \end{eqnarray}$ erklärt. Du kannst Dich ja mal an einem Beweis versuchen, ich kann mir nicht vorstellen, dass es sehr schwer ist, auch, wenn ich ihn mir noch nicht überlegt habe. Gruß Philipp
05.09.2006, 12:43	IchDerRobot	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Äquivalenz von Vollständigkeit und Intervallschachtelungprinzip ergibt sich so: Habe ich in einem vollständigen Raum eine Intervallschachtelung (absteigende Folge nichtleerer abg. Mengen, deren Durchmesser gegen 0 geht), dann wähle ich aus jedem Intervall ein Element aus (benutzt AC, aber wen stört das). Die Folge dieser Elemente bildet - nach Voraussetzung an die Intervallschachtelung - eine Cauchyfolge. Ihr Grenzwert liegt in allen Intervallen. Die Umkehrung ist etwas trickreicher. Hier habe ich eine Cauchyfolge (a_n) und weiß, dass jede Intervallschachtelung einen nichtleeren Schnitt hat. "Löwenjagd" funktioniert leider nicht, weil beschränkte Teilmengen nicht notwendig totalbeschränkt (=präkompakt) sind. Ich wähle zu jedem k in IN das kleinste N_k in IN mit $\begin{eqnarray} \forall n \ge N_k: d(a_n, a_{N_k}) < 1/(2k) \end{eqnarray}$ . Die abgeschlossenen Kugeln $\begin{eqnarray} B_k := \bar B_{1/k}(a_{N_k}) \end{eqnarray}$ erfüllen $\begin{eqnarray} \text{diam}(B_k) \to 0 \end{eqnarray}$ , liegen aber möglicherweise nicht ineinander. Also definieren wir $\begin{eqnarray} A_0 := B_0, A_{k+1} := A_k \cap B_{k+1} \end{eqnarray}$ , und erhalten eine absteigende Folge (nach Konstruktion) nichtleerer (da $\begin{eqnarray} a_n \in A_k \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \ge N_k \end{eqnarray}$ ist) abgeschlossener Mengen, deren Durchmesser gegen 0 geht. Nach Voraussetzung gibt es ein Element a im Schnitt dieser Intervalle. Dieses ist der Grenzwert von (a_n). Robot

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