Vektorräume

14.11.2008, 02:27

Mulder (Gast)

Vektorräume

Servus. Kann mich grad' irgendwie nicht einloggen... naja egal. Folgendes: Wir sollen bei diversen Mengen und ihren Verknüpfungen überprüfen, ob sie Vekrorräume bilden. Bei zweien tue ich mir da ein wenig schwer. Das wären diese hier:

a)

$\begin{eqnarray*} U = \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + y_1 +1 \\ x_2 + y_2 +1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ \lambda x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b)

$\begin{eqnarray*} W = \mathbb R_{+} = \{x \in \mathbb R \, \, | \, \, x > 0 \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W' = \mathbb R_{ \geq 0} = \{{x \in \mathbb R \, \, | \, \, x \geq 0 \}} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \oplus y = x \cdot y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \odot x = x^{\lambda} \end{eqnarray*}$

Tja... sinnvoll wäre ja zumindest bei der a), dass man für $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ nachweist, dass es ein Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist, oder? Oder es prüft, sagen wir mal so. Allerdings tue ich mich ein wenig mit dieser selten bescheuerten Addition schwer. Die Skalarmultiplikation ist ja "normal", aber was diese komische Konstruktion bei der Addition soll...
Na, jedenfalls kann ich damit nicht umgehen. Zu zeigen ist nun also, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ den Nullvektor enthält und bezüglich Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist, ja?

Ist bestimmt super einfach und ich mache mir das Leben nur wieder unnötig schwer. Aber ich weiß nicht, wie ich hier mit dem Nullelement da rangehen soll, weil das so blöd ist mit den +1 in der Summe. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

Und zur b): Da weiß ich nicht, wie ich die Verknüpfungen handhaben soll. Mir sagen diese Symbole nichts. Das ist auch eine Bonusaufgabe, vermutlich fehlt uns daher ein wenig Hintergrundwissen dazu. Kann mir jemand die beiden Symbole $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \odot \end{eqnarray*}$ in diesem Zusammenhang erklären? Bei $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ habe ich in Erfahrung bringen können, dass das wohl eine "direkte Summe" ist. Was ist denn eine "undirekte"? Augenzwinkern

Jedenfalls scheitert es hier ein wenig am Hintergrundwissen. Beim $\begin{eqnarray*} \odot \end{eqnarray*}$ habe ich null Plan. Ist denn $\begin{eqnarray*} x \odot \lambda = \lambda \odot x \end{eqnarray*}$ ? Eventuell könnte ich die Aufgabe ja auch alleine bearbeiten, wenn ich denn mal wüsste, was die eigentlich von mir wollen!?

14.11.2008, 09:25

tigerbine

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RE: Vektorräume
Der Nullvektor muss nicht immer aus Nullen bestehen. Wie lautet er denn in dem ersten Beispiel, sofern es ihn gibt?

Nachdem du die additive Gruppe überprüft hast, muss noch die Skalarmultiplikation gecheckt werden. Dieser "UV" war in letzter Zeit shcon mal dran, also mal die Boardsuche befragen. Gilt denn am Ende auch:

$\begin{eqnarray*} \lambda x + \lambda y = \lambda (x + y) \end{eqnarray*}$

?

14.11.2008, 09:36

klarsoweit

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RE: Vektorräume

Zitat:

Original von Mulder (Gast)
Tja... sinnvoll wäre ja zumindest bei der a), dass man für $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ nachweist, dass es ein Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist, oder? Oder es prüft, sagen wir mal so. Allerdings tue ich mich ein wenig mit dieser selten bescheuerten Addition schwer. Die Skalarmultiplikation ist ja "normal", aber was diese komische Konstruktion bei der Addition soll...
Na, jedenfalls kann ich damit nicht umgehen. Zu zeigen ist nun also, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ den Nullvektor enthält und bezüglich Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist, ja?

Also erstmal geht es um einen Vektorraum über R², nicht um einen Untervektorraum und auch nicht über R^n. Und dann sind für einen Vektorraum noch ein paar Eigenschaften mehr zu zeigen. Allerdings ist der Verdacht groß, daß es sich wegen der "bescheuerten" Addition gar nicht um einen Vektorraum handelt. Prüfe mal die Gültigkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot (\vec x + \vec y) = \lambda \vec x + \lambda \vec y \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mulder (Gast)
Und zur b): Da weiß ich nicht, wie ich die Verknüpfungen handhaben soll. Mir sagen diese Symbole nichts. Das ist auch eine Bonusaufgabe, vermutlich fehlt uns daher ein wenig Hintergrundwissen dazu. Kann mir jemand die beiden Symbole $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \odot \end{eqnarray*}$ in diesem Zusammenhang erklären? Bei $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ habe ich in Erfahrung bringen können, dass das wohl eine "direkte Summe" ist. Was ist denn eine "undirekte"? Augenzwinkern

Jedenfalls scheitert es hier ein wenig am Hintergrundwissen. Beim $\begin{eqnarray*} \odot \end{eqnarray*}$ habe ich null Plan.

Die Symbole sind einfach nur Symbole. Da könnte auch eine Ente stehen oder ein Tannenbaum, eben irgendein Zeichen. Es soll nur ausdrücken, auf welche Weise 2 Elemente x und y miteinander verknüpft werden. Das Ergebnis der Verknüpfung $\begin{eqnarray*} x \oplus y \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} x \cdot y \end{eqnarray*}$ . In einem anderen Zusammenhang bedeutet $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ "direkte Summe". Das ist hier aber nicht gemeint.

Zitat:

Original von Mulder (Gast)
Ist denn $\begin{eqnarray*} x \odot \lambda = \lambda \odot x \end{eqnarray*}$ ?

Nein. Das ist auch nicht als Eigenschaft eines Vektorraums verlangt.

Zitat:

Original von Mulder (Gast)
Eventuell könnte ich die Aufgabe ja auch alleine bearbeiten, wenn ich denn mal wüsste, was die eigentlich von mir wollen!?

Du sollst dir die Bedingungen, die für einen Vektorraum gelten müssen, hernehmen, und zeigen, daß diese hier erfüllt sind.

EDIT: tigerbine war schneller. Das kommt vom vielen Schreiben. traurig

14.11.2008, 09:41

tigerbine

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tigerbine ist nun aber auch weg. Augenzwinkern

Und der FRagesteller freut sich über das "viele" Wink

14.11.2008, 09:59

Nubler

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zur b)

aus welchen grundkonstrukt stammt des $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ?

anders gefragt: worüber soll der Vektorraum aufgebaut sein?

14.11.2008, 11:55

Mulder (Gast)

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RE: Vektorräume
Danke für eure Hilfe. smile

Zitat:

tigerbineDer Nullvektor muss nicht immer aus Nullen bestehen. Wie lautet er denn in dem ersten Beispiel, sofern es ihn gibt?

Keine Ahnung. Er müsste doch eigentlich die Eigenschaften eines neutralen Elementes auch erfüllen, oder? Dementsprechend würde ich ihn dann vielleicht so konstruieren, dass er die +1 in den Kompenenten der Summe wieder eliminiert. Vielleicht also der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? *grübel*

Zitat:

Original von klarsoweitAlso erstmal geht es um einen Vektorraum über R², nicht um einen Untervektorraum und auch nicht über R^n. Und dann sind für einen Vektorraum noch ein paar Eigenschaften mehr zu zeigen.

Äh... ja. Unser Tutor gab uns allerdings den Hinweis, nicht auf Vektorraumeigenschaften zu prüfen, sondern auf Untervektorraumeigenschaften. Das sind ja viel weniger Axiome nachzuprüfen. Und ein Untervektorraum ist ja auch wieder ein Vektorraum, damit wäre die Aufgabe dann ja gelöst. Aber um so vorgehen zu können, muss ich ja erst eine Menge festlegen, von der ich weiß, dass sie einen Vektorraum bildet und von dem $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ auch definitiv eine Teilmenge ist. War das falsch gedacht?

Zitat:

Original von klarsoweitDie Symbole sind einfach nur Symbole. Da könnte auch eine Ente stehen oder ein Tannenbaum, eben irgendein Zeichen. Es soll nur ausdrücken, auf welche Weise 2 Elemente x und y miteinander verknüpft werden.

Danke, dann ist alles klar. smile

Zitat:

Original von klarsoweitDu sollst dir die Bedingungen, die für einen Vektorraum gelten müssen, hernehmen, und zeigen, daß diese hier erfüllt sind.

Und das ist mir eben nur möglich, wenn ich die Symbole kenne. Augenzwinkern

Daher meine Nachfrage. Ich denke, nun werde ich es hinbekommen.

14.11.2008, 11:59

Mulder (Gast)

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Pardon, als Gast kann ich nicht editieren:

Zitat:

Original von Nubler
anders gefragt: worüber soll der Vektorraum aufgebaut sein?

Steht doch wohl dabei: Über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

14.11.2008, 12:11

klarsoweit

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RE: Vektorräume

Zitat:

Original von Mulder (Gast)
Dementsprechend würde ich ihn dann vielleicht so konstruieren, dass er die +1 in den Kompenenten der Summe wieder eliminiert. Vielleicht also der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? *grübel*

Das wäre in der Tat ein neutrales Element.

Zitat:

Original von Mulder (Gast)
Äh... ja. Unser Tutor gab uns allerdings den Hinweis, nicht auf Vektorraumeigenschaften zu prüfen, sondern auf Untervektorraumeigenschaften.

Dieser Hinweis ist meines Erachtens Unfug. Ich habe ja hier keinen Vektorraum gegeben, woraus U eine Teilmenge darstellt. Oder anders gesagt: von was sollte U ein Untervektorraum sein?

Zitat:

Original von Mulder (Gast)
Und das ist mir eben nur möglich, wenn ich die Symbole kenne. Augenzwinkern

Daher meine Nachfrage. Ich denke, nun werde ich es hinbekommen.

Wie die Symbole definiert sind, ist in der Aufgabe definiert worden.
Also: Kennen --> schau in die Definition.

14.11.2008, 12:25

Mulder (Gast)

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RE: Vektorräume

Zitat:

Original von klarsoweit
Dieser Hinweis ist meines Erachtens Unfug. Ich habe ja hier keinen Vektorraum gegeben, woraus U eine Teilmenge darstellt. Oder anders gesagt: von was sollte U ein Untervektorraum sein?

Man kann scheinbar wirklich niemandem mehr trauen... Augenzwinkern

Aber ist ja nun auch egal, wenn $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ kein Vektorraum ist, muss ich das ja eh nur mit einem nicht zutreffenden Axium belegen. Aber trotzdem nochmal rein aus Interesse: Ist denn beispielsweise $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ nicht auch ein Vektorraum? Und damit ein Element aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ eben in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegt, müssen bestimmte Bedingungen erfüllt sein (die in der Aufgabenstellung definierte Addition und Skalarmultiplikation). Und dann schaut man eben nach, ob diese Teilmenge die Untervektorraumaxiome erfüllt.

Die Aufgabe besteht ja auch aus a) - e). Wenn ich fünf mal alle VR-Axiome nachprüfe, schreibe ich mich ja in Teufels Küche. Und das waren eben auch die Worte unseres Tutors. Und in der VL auch die unseres Profs.

14.11.2008, 13:05

klarsoweit

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RE: Vektorräume

Zitat:

Original von Mulder (Gast)
Und damit ein Element aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ eben in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegt, müssen bestimmte Bedingungen erfüllt sein (die in der Aufgabenstellung definierte Addition und Skalarmultiplikation). Und dann schaut man eben nach, ob diese Teilmenge die Untervektorraumaxiome erfüllt.

Wenn U ein Untervektorraum von R² sein soll, dann muß man nur sagen, welche Elemente aus R² darein gehören. Die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation erbt es aber von dem übergeordneten Vektorraum. Da kann man nicht noch separat was definieren.

Zitat:

Original von Mulder (Gast)
Wenn ich fünf mal alle VR-Axiome nachprüfe, schreibe ich mich ja in Teufels Küche. Und das waren eben auch die Worte unseres Tutors. Und in der VL auch die unseres Profs.

Deswegen hatte ich ja auch den Tipp gegeben, eine bestimmte Eigenschaft zu prüfen. smile

14.11.2008, 21:03

Mulder

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RE: Vektorräume
Also, ich habe mich jetzt mal an der b) ein wenig versucht, vorerst mal nur an $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ . Leider ist man sich da doch immer ein wenig unsicher mit den Erkenntnissen, die man daraus vermeintlich gewinnt. Zunächst einmal habe ich überprüft, ob $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe bezüglich $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ bildet. Dem ist ja offensichtlich so, da dass ja eine stinknormale Multiplikation ist. Dann habe ich mir das Distributivgesetz mal angeschaut. Wenn ich das richtig gemacht habe, ist das hier auch erfüllt:

$\begin{eqnarray*} \lambda \odot ( x \oplus y) = \lambda \odot (xy) = (xy)^\lambda \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} (\lambda \odot x) \oplus ( \lambda \odot y) = x^\lambda \odot y^\lambda = x^\lambda y^\lambda = (xy)^\lambda \end{eqnarray*}$

Verhält sich also distributiv, ja?

Das mit dem Einselement haut auch hin:

$\begin{eqnarray*} 1 \odot x = x^1 = x \end{eqnarray*}$

Aber wie ist das nun mit der skalaren Multiplikation? Auch die muss sich, damit das Ganze ein VR ist, assoziativ verhalten, oder? Hier hänge ich aber fest, bzw. es klappt bei mir nicht. Kann natürlich auch heißen, dass $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ kein VR ist. Aber wie gesagt - man ist sich da sehr unsicher. Irgendwie weiß ich auch gar nicht, welche Verknüpfungen ich da betrachten muss.

Der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ besteht ja nur darin, dass einer die 0 enthält, der andere nicht. Wenn die Aufgabenstellung Sinn machen soll, sollte das ja auch irgendwie ein entscheidender Punkt bei der Betrachtung sein. Ob dem so ist, und wenn ja, in welcher Form, habe ich bisher nicht so ganz kapieren können. unglücklich

PS: Bei der a) scheiterte es ja erwartungsgemäß an dem Axiom, das ihr vorgeschlagen habt. Ist also kein VR, die "+1" in den einzelnen Komponenten der Summe versauen das.

15.11.2008, 09:56

klarsoweit

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RE: Vektorräume

Zitat:

Original von Mulder
Verhält sich also distributiv, ja?

Ja. Es fehlt aber noch: $\begin{eqnarray*} (\lambda_1 + \lambda_2) \odot x = (\lambda_1 \odot x) \oplus (\lambda_2 \odot x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mulder
Aber wie ist das nun mit der skalaren Multiplikation? Auch die muss sich, damit das Ganze ein VR ist, assoziativ verhalten, oder?

Da muß gelten:
$\begin{eqnarray*} (\lambda_1 \cdot \lambda_2) \odot x = \lambda_1 \odot (\lambda_2 \odot x) \end{eqnarray*}$
Beachte die Skalare stammen aus dem zugrunde liegenden Skalarenkörper. Das sind hier die reellen Zahlen. Daher gilt zwischen den Skalaren die normale Addition bzw. Multiplikation.

Zitat:

Original von Mulder
Der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ besteht ja nur darin, dass einer die 0 enthält, der andere nicht. Wenn die Aufgabenstellung Sinn machen soll, sollte das ja auch irgendwie ein entscheidender Punkt bei der Betrachtung sein. Ob dem so ist, und wenn ja, in welcher Form, habe ich bisher nicht so ganz kapieren können. unglücklich

Überlege dir für W', ob du zu jedem x ein inverses Element findest.

Zitat:

Original von Mulder
PS: Bei der a) scheiterte es ja erwartungsgemäß an dem Axiom, das ihr vorgeschlagen habt. Ist also kein VR, die "+1" in den einzelnen Komponenten der Summe versauen das.

Ja. Ich hoffe, daß deine Rechnung dies schlüssig nachweist. smile

15.11.2008, 10:19

Mulder

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RE: Vektorräume

Zitat:

Original von klarsoweit
Beachte die Skalare stammen aus dem zugrunde liegenden Skalarenkörper. Das sind hier die reellen Zahlen. Daher gilt zwischen den Skalaren die normale Addition bzw. Multiplikation.

Aaaah, genau das war der Knackpunkt. Das wusste ich nicht, bzw. habe ich nicht bedacht. Ich hatte mir zunächst aufgeschrieben, dass gelten müsste:

$\begin{eqnarray*} (\lambda_1 \odot \lambda_2) \odot x = \lambda_1 \odot (\lambda_2 \odot x) \end{eqnarray*}$

Und das hielt ich irgendwie für Quatsch. Weil ich mir irgendwie wohl gedacht habe, dass ich die Operation $\begin{eqnarray*} \odot \end{eqnarray*}$ nur zwischen einem Skalar und einem $\begin{eqnarray*} x \in W \end{eqnarray*}$ ausführen kann, und nicht zwischen zwei Skalaren. Dass amn da unterschieden muss, wird einem oft gar nicht so recht bewusst, weil man eigentlich ja meistens nur mit den "normalen" Verknüpfungen "+" und "*" zu tun bekommt. Daher entgeht einem das immer. Mir bisher zumindest. Danke, jetzt komme ich zurecht!

Zitat:

Original von klarsoweit
Ja. Ich hoffe, daß deine Rechnung dies schlüssig nachweist.

Der Vollständigkeit halber kann ich's ja nochmal aufschreiben, um sicher zu gehen.

$\begin{eqnarray*} \lambda x + \lambda y = \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ \lambda x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \lambda y_1 \\ \lambda y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x_1 + \lambda y_1 + 1 \\ \lambda x_2 + \lambda y_2 +1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lambda (x+y) = \lambda \left ( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right ) = \lambda \begin{pmatrix} x_1 + y_1 + 1 \\ x_2 + y_2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x_1 + \lambda y_1 + \lambda \\ \lambda x_2 + \lambda y_2 +\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist also offensichtlich nicht das gleiche.

Zitat:

Original von klarsoweit
Überlege dir für W', ob du zu jedem x ein inverses Element findest.

Du meinst, dass in $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ kein Inverses für die 0 existiert? In $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ war das Inverse bezüglich $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ ja der Kehrwert:

$\begin{eqnarray*} (x \oplus x^{-1}) = xx^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$

Aber $\begin{eqnarray*} (0 \oplus x ) = 0 \cdot x \neq 1 \forall x \in \mathbb R_{\geq 0} \end{eqnarray*}$

Diese Bedingung ist also nicht erfüllt. Okay so?

15.11.2008, 13:53

klarsoweit

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RE: Vektorräume

Zitat:

Original von Mulder
Ist also offensichtlich nicht das gleiche.

Ja, richtig.

Zitat:

Original von Mulder
Diese Bedingung ist also nicht erfüllt. Okay so?

Du meinst das richtige, ist aber formal nicht so ganz ok. Also:

Wenn 0 ein inverses Element $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hätte, dann wäre $\begin{eqnarray*} 0 \oplus x = 1 \end{eqnarray*}$ .

Es ist aber $\begin{eqnarray*} 0 \oplus x = 0 \forall x \in \mathbb R_{\geq 0} \end{eqnarray*}$

Aus dem Widerspruch folgt, daß Null kein inverses Element hat.

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