Direkte Summe: gerade/ungerade Funktionen

14.11.2008, 07:55

eierkopf1

Direkte Summe: gerade/ungerade Funktionen

Hallo!

Wie zeige ich folgendes Beispiel?

"Sei $\begin{eqnarray*} V = Abb ( \mathbb R, \mathbb R ) \end{eqnarray*}$ , U der Untervektorraum der geraden Funktionen und W der Unterraum der ungeraden Funktionen. Man zeige: $\begin{eqnarray*} V = U \oplus W \end{eqnarray*}$ ."

Was (un)gerade Funktionen sind, haben wir zwar noch nicht auf da Uni gelernt, ist mir aber eigentlich klar (-> Symmetrie und Vorzeichen).

Ich muss jetzt zeigen, dass im Durchschnitt von U und W nur der Nullvektor enthalten ist.

Und dass die Summe gilt V = W + U.

Nur wie mache ich das?

mfg

14.11.2008, 10:12

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Na zeige doch einfach, dass die Zerlegung $\begin{eqnarray*} v(x)=u(x)+w(x) \end{eqnarray*}$ einer beliebigen Funktion $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ in einen geraden und einen ungeraden Anteil immer möglich und dann auch eindeutig ist, und dass es nur eine Funktion gibt, die zugleich gerade und ungerade ist: Die Nullfunktion. Dazu kannst du nutzen, dass

$\begin{eqnarray*} v(-x) = u(-x) + w(-x) \stackrel{!}{=} u(x)-w(x) \end{eqnarray*}$

ist, was sich aus der Definition der geraden und ungeraden Funktionen ergibt.

14.11.2008, 13:47

eierkopf1

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Danke für die Antwort!

Wie zeige ich die Eindeutigkeit?

Kann ich das so machen:

$\begin{eqnarray*} u(x) = \frac{1}{2} (v(x) + v(-x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w(x) = \frac{1}{2} (v(x) - v(-x)) \end{eqnarray*}$

Und dann: $\begin{eqnarray*} v(x) = \frac{1}{2} (v(x) - v(-x)) + \frac{1}{2} (v(x) + v(-x)=v(x) \end{eqnarray*}$

Oder wie gehe ich das am besten an?

mfg

14.11.2008, 13:54

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Im Prinzip ja. Man kann (muss?) natürlich noch deutlicher machen, dass diese Formeln

$\begin{eqnarray*} u(x) = \frac{1}{2} (v(x) + v(-x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w(x) = \frac{1}{2} (v(x) - v(-x)) \end{eqnarray*}$

die eindeutige Lösung des Gleichungssystems

$\begin{eqnarray*} u(x) + w(x) = v(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x) - w(x) = v(-x) \end{eqnarray*}$

darstellen. Das wäre schon mal die Existenz und Eindeutigkeit der Zerlegung gezeigt.

----------------------------

Zum anderen Teil, der gleichzeitig geraden und ungeraden Funktion, der ist noch einfacher:

Da muss für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zugleich $\begin{eqnarray*} v(-x)=v(x) \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} v(-x)=-v(x) \end{eqnarray*}$ gelten, die Gleichsetzung ergibt $\begin{eqnarray*} v(x)=-v(x) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} v(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

14.11.2008, 14:58

eierkopf1

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@1. Teil

Wie kommst du auf das Gleichungssystem (wie man es dann löst ist mir klar)?

@2. Teil
Genau. Man könnte auch sagen: u(x) = w(x) = 0.

mfg

14.11.2008, 17:25

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Zitat:

Original von eierkopf1
Wie kommst du auf das Gleichungssystem (wie man es dann löst ist mir klar)?

Die erste Gleichung ist schlicht und einfach der gewünschte Summenansatz. Die zweite Gleichung folgt aus den Bedingungen für die gerade und ungerade Funktion, was denn sonst.

Wie bist du denn sonst auf deine Dastellungen von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ gekommen, wenn nicht darüber - die sind doch nicht etwa vom Himmel gefallen? Augenzwinkern

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