Uneigentl. Riemannintegral mit Sinus

14.11.2008, 17:23

Fletcher

Uneigentl. Riemannintegral mit Sinus

Guten Tag,

wir sind gerade dabei zu zeigen, dass das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}\frac{sin(x)}{1+x}dx \end{eqnarray*}$ zwar im Riemannschen Sinne existiert, aber in der Lebesgue-Theorie eben nicht, weil das Riemann Integral nicht absolut konvergiert. Alles schön und gut, aber ich habe mal versucht die Funktion mit partieller Integration zu intergrieren und komme nicht weiter. Ich habe dabei $\begin{eqnarray*} u'=sinx, v=\frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$ gewählt und bekomme dann ein Integral der Form:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}\frac{cos(x)}{(1+x)^2}dx \end{eqnarray*}$

Wie geht es jetzt weiter?

Außerdem würde ich gerne zeigen, dass das Riemannintegrall absolut divergent ist. Wie funktioniert das?

Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

14.11.2008, 17:27

Cordovan

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Versuche nicht, eine Stammfunktion zu finden. Plotte dir mal die Funktion und überlege, wie du den Flächeninhalt geeignet abschätzen kannst, so dass er zwar konvergiert, sein Betrag aber nicht (Stichwort: alternierende Reihe).

Cordovan

14.11.2008, 17:29

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RE: Uneigentl. Riemannintegral mit Sinus
Du wirst mit "gewöhnlichen" Funktionen keine geschlossene Darstellung der Stammfunktion erreichen, zwecklos. Musst du aber auch gar nicht, es reicht eine Abschätzung von

$\begin{eqnarray*} \frac{|\sin(x)|}{1+x} \end{eqnarray*}$

nach unten durch einen nichtnegativen Integranden eines ebenfalls divergenten uneigentlichen Integrals.

EDIT: Doppelt genäht hält wieder mal besser. Big Laugh

EDIT2: Mein Tipp bezog sich natürlich nur auf das hier

Zitat:

Original von Fletcher
Außerdem würde ich gerne zeigen, dass das Riemannintegrall absolut divergent ist. Wie funktioniert das?

Für den ersten Teil der Konvergenz ist die genannte partielle Integration durchaus hilfreich, denn vom obiegn uneigentlichen Kosinusintegral kann man noch viel leichter die Konvergenz sehen.

15.11.2008, 09:35

Fletcher

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Guten Morgen,

um jetzt nichts durcheinander zu werfen:

1) Um zu zeigen, dass die Funktion Riemann-Integrierbar ist, habe ich die partielle Integration also schon richtig angewendet, von dem Integral mit dem Kosinus kann man doch auch abschätzen oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{cos(x)}{(1+x)^2} \leq \frac{1}{(1+x)^2} \end{eqnarray*}$ und damit kann ich sagen, dass das Riemannintegral auf jeden Fall exisitiert.

2) Um zu zeigen, dass es nicht Lebesgue-Integrierbar ist, reicht sofort abzuschätzen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{|sin(x)|}{(1+x)} \leq \frac{1}{(1+x)} \end{eqnarray*}$

Und das Integral von 0 bis Unendlich über diese Funktion divergiert schließlich, folglich ist diese Funktion nicht Lebesgue-Integrierbar.

16.11.2008, 09:36

Fletcher

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Wollte nur wissen, ob das korrekt ist? Kann mir bitte jemand das bestätigen?

16.11.2008, 10:29

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Fletcher
$\begin{eqnarray*} \frac{cos(x)}{(1+x)^2} \leq \frac{1}{(1+x)^2} \end{eqnarray*}$ und damit kann ich sagen, dass das Riemannintegral auf jeden Fall exisitiert.

Du solltest noch Beträge dazu packen, sonst stimmt die Folgerung nicht. Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{|\cos x|}{(1+x)^2}\leq\frac{1}{(1+x)^2} \end{eqnarray*}$ .

Und deine zweite Abschätzung bringt dir gar nichts. Du hast eine divergente Majorante gefunden, woraus du überhaupt gar keine Aussage über das Integral bekommst. Siehe auch Arthurs Kommentar:

Zitat:

Original von Arthur Dent
es reicht eine Abschätzung von

$\begin{eqnarray*} \frac{|\sin(x)|}{1+x} \end{eqnarray*}$

nach unten durch einen nichtnegativen Integranden eines ebenfalls divergenten uneigentlichen Integrals.

Du brauchst eben eine divergente Minorante.

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